Запишите в каноническом виде разложение числа 2 527 200 на простые множители. Делится ли произведение 100 · 51⁴: а) на 7; б) на 12; в) на 68; г) на 81? Обоснуйте свой ответ. Определите, простым или составным является число: а) 164; б) 177; в) 293.

Разложим число на простые множители:

2 527 200 = 25272 · 100 = (8 · 3159) · (4 · 25) = 2⁵ · 3⁵ · 5² · 13.

Для делимости произведения разложим его на простые множители:

100 · 51⁴ = 2² · 5² · (3 · 17)⁴ = 2² · 3⁴ · 5² · 17⁴.

1. На 7 не делится: в разложении произведения нет множителя 7.
2. На 12 делится, поскольку 12 = 2² · 3, и оба множителя есть в разложении произведения.
3. На 68 делится, поскольку 68 = 2² · 17, и оба множителя есть в разложении произведения.
4. На 81 делится, поскольку 81 = 3⁴, и множитель 3⁴ есть в разложении произведения.

Проверим числа на простоту:

1. 164 — составное: 164 = 2 · 82.
2. 177 — составное: сумма цифр равна 15, значит, число делится на 3; 177 = 3 · 59.
3. 293 — простое: оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее √293 < 18, то есть на 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17.

Ответ: 2 527 200 = 2⁵ · 3⁵ · 5² · 13; произведение делится на 12, 68 и 81, но не делится на 7. 164 и 177 — составные, 293 — простое.