Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика96 Запишите в таблицу формулы, выражающие зависимости между стороной а, пло- щадью S правильного многоугольника, радиусом описанной окружности R и радиусом вписанной окружности r. Правильный многоугольник а) Треугольник б) Четырёхугольник (квадрат) в) Шестиугольник
Ответ:
Решение:
Заполним таблицу формулами, выражающими зависимости между стороной a, площадью S правильного многоугольника, радиусом описанной окружности R и радиусом вписанной окружности r.
| Правильный многоугольник | R = f₁(a) | a = f₂(r) | S = f₃(a) |
|---|---|---|---|
| a) Треугольник | $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ | $$a = 2r\sqrt{3}$$ | $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ |
| б) Четырёхугольник (квадрат) | $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ | $$a = 2r$$ | $$S = a^2$$ |
| в) Шестиугольник | $$R = a$$ | $$a = \frac{2r\sqrt{3}}{3}$$ | $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$ |
1) а) Найдем вид формулы $$R = f_1(a)$$ для правильного треугольника, т. е. выразим радиус R окружности, через его сторону a.
Из формулы $$S = 0,5a^2sin60^o = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, где n - число углов правильного многоугольника, при n = 3 получаем $$a_3 = 2Rsin\frac{180^o}{n} = 2Rsin60^o =2R\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Итак, $$a_3 = R\sqrt{3}$$
Выразим радиус R через сторону правильного треугольника: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$
Для квадрата и правильного шестиугольника рассуждения аналогичны.
2) в) Пусть $$A_1A_2$$ – сторона правильного многоугольника, точка О – центр, AH – радиус вписанной окружности.
Тогда $$\angle OAH$$ равен половине угла α правильного многоугольника.
$$OH: A_1H = r: \frac{a}{2} = \frac{r}{\frac{a}{2}} = \frac{2r}{a} = tg\frac{180^o}{n}$$.
Следовательно, $$a = 2r : tg\frac{180^o}{n}$$.
При n = 6 получаем:
$$a = 2r : tg\frac{180^o}{6} = 2r : tg 30^o = 2r: \frac{\sqrt{3}}{3} = 2r\frac{3}{\sqrt{3}} = 2r\sqrt{3}$$
Для правильного треугольника и квадрата рассуждения аналогичны.
Ответ: смотри таблицу.
