Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую дробь: а) 1,(23); б) 1,5(23); в) 0,1(9).

1. а) \(1,(23)\)

   Пусть \(x=1,(23)=1.232323\ldots\). Умножим на \(100\): \(100x=123.232323\ldots\).

   Вычтем исходное равенство: \(100x-x=123.232323\ldots-1.232323\ldots\), поэтому \(99x=122\).

   Следовательно, \(x=\frac{122}{99}\).

2. б) \(1,5(23)\)

   Пусть \(x=1.5232323\ldots\). Умножим на \(10\): \(10x=15.232323\ldots\), а затем на \(100\): \(1000x=1523.232323\ldots\).

   Вычтем: \(1000x-10x=1523.232323\ldots-15.232323\ldots\), поэтому \(990x=1508\).

   Следовательно, \(x=\frac{1508}{990}=\frac{754}{495}\).

3. в) \(0,1(9)\)

   Так как \(0,1(9)=0.1999\ldots=0.2\), получаем \(0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\).

Ответ: а) \(\frac{122}{99}\); б) \(\frac{754}{495}\); в) \(\frac{1}{5}\).