Заполни пропуски: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Решение:

Чтобы заполнить пропуски, используем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. Показатели степеней складываются, а основание остаётся прежним.

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Доказательство:

Для \( m > 1 \) и \( n > 1 \) имеем:

\( a^m \cdot a^n = \underbrace{(a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{m \text{ раз}} \cdot \underbrace{(a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{m+n \text{ раз}} = a^{m+n} \)

Проверка себя:

Выполним вычисления, используя свойство умножения степеней:

1. \( 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^5 = 3^{2+3+5} = 3^{10} \)
2. \( 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^0 = 2^{2+3+0} = 2^5 \)

Ответ: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).