Заполнить соответствующие ячейки таблицы. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если их не более 5.

Решение:

Обозначим вероятность того, что вызов будет принят, как \( p = 0.4 \). Тогда вероятность того, что вызов не будет принят, равна \( q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6 \).

Число вызовов \( X \) может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5.

Закон распределения числа вызовов:

• \( P(X=1) \) — вероятность, что корреспондент принял первый вызов. \( P(X=1) = p = 0.4 \).
• \( P(X=2) \) — вероятность, что первый вызов не принят, а второй принят. \( P(X=2) = q · p = 0.6 · 0.4 = 0.24 \).
• \( P(X=3) \) — вероятность, что первые два вызова не приняты, а третий принят. \( P(X=3) = q^2 · p = (0.6)^2 · 0.4 = 0.36 · 0.4 = 0.144 \).
• \( P(X=4) \) — вероятность, что первые три вызова не приняты, а четвертый принят. \( P(X=4) = q^3 · p = (0.6)^3 · 0.4 = 0.216 · 0.4 = 0.0864 \).
• \( P(X=5) \) — вероятность, что первые четыре вызова не приняты, а пятый принят. \( P(X=5) = q^4 · p = (0.6)^4 · 0.4 = 0.1296 · 0.4 = 0.05184 \).

Проверка: \( 0.4 + 0.24 + 0.144 + 0.0864 + 0.05184 = 0.92224 \).

Так как указано, что число вызовов не более 5, а это значит, что последний вызов мог быть как принят, так и не принят. В случае, если пятый вызов не принят, это будет означать, что произошло 5 вызовов, но ни один не был принят. Вероятность этого события равна \( q^5 = (0.6)^5 = 0.07776 \).

Сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Давайте пересчитаем закон распределения, учитывая, что последнее событие в ряду (5-й вызов) может быть как принят, так и не принят. Если 5-й вызов принят, то это \( P(X=5) = q^4 · p = 0.05184 \). Если же 5-й вызов не принят, то это означает, что были сделаны 5 вызовов, но ни один не принят. Вероятность этого события равна \( P(X > 4) = q^5 = 0.07776 \).

Таким образом, число вызовов \( X \) может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5.

• \( P(X=1) = 0.4 \)
• \( P(X=2) = 0.6 · 0.4 = 0.24 \)
• \( P(X=3) = (0.6)^2 · 0.4 = 0.144 \)
• \( P(X=4) = (0.6)^3 · 0.4 = 0.0864 \)
• \( P(X=5) = (0.6)^4 · 0.4 + (0.6)^5 = 0.05184 + 0.07776 = 0.1296 \)

Проверка: \( 0.4 + 0.24 + 0.144 + 0.0864 + 0.1296 = 1 \).

Ответ: Закон распределения числа вызовов представлен в таблице.