Заполните пропуски: Четырёхугольник является ромбом, если все его стороны ____. Действительно, если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно ____, то этот четырёхугольник является ____. А параллелограмм, у которого стороны ____, называется ромбом. Сравним длины сторон данного четырёхугольника: AB² = (7 + 3)² + (___)² = ___ + ___ = ___; BC² = ___; CD² = ___; DA² = ___. Следовательно, AB² ___ BC² ___ CD² ___ DA², откуда AB = BC = ___ = ___ . Итак, четырёхугольник ABCD является ____, поэтому его площадь равна половине ____ его диагоналей. AC² = (−3 − 5)² + ___ = ___, следовательно, AC = ___; BD² = ___, следовательно, BD = ___. S₍ABCD₎ = 0,5AC · ___ = ___ .

Четырёхугольник является ромбом, если все его стороны равны. Действительно, если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. А параллелограмм, у которого стороны равны, называется ромбом.

Сравним длины сторон данного четырёхугольника:

\(AB^2=(7+3)^2+(9-4)^2=100+25=125\);

\(BC^2=(5-7)^2+(-2-9)^2=4+121=125\);

\(CD^2=(-5-5)^2+(-7+2)^2=100+25=125\);

\(DA^2=(-3+5)^2+(4+7)^2=4+121=125\).

Следовательно, \(AB^2=BC^2=CD^2=DA^2\), откуда \(AB=BC=CD=DA=5\sqrt{5}\). Итак, четырёхугольник ABCD является ромбом, поэтому его площадь равна половине произведения длин его диагоналей.

\(AC^2=(-3-5)^2+(4+2)^2=64+36=100\), следовательно, \(AC=10\).

\(BD^2=(7+5)^2+(9+7)^2=144+256=400\), следовательно, \(BD=20\).

\(S_{ABCD}=0.5\cdot AC\cdot BD=0.5\cdot10\cdot20=100\).

Ответ: площадь ромба равна 100 квадратным единицам.