Заполните пропуски. Дано: MN = KL = 6,4 см; ∠MNK = 60°. Найти: диаметр, ∠MNR, ∠NKL.

Решение:

Поскольку KL — хорда, а MN — касательная к окружности, то угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой меры дуги, заключённой между ними. Следовательно:

\( \angle MNK = 60^{\circ} \)

Угол \( \angle MNK \) является вписанным углом, опирающимся на дугу NK. Следовательно, \( \angle NKL \) равен половине дуги NK.

\( \angle MNK = 60^{\circ} \)

Дуга NK = \( 2 \times \angle MNK = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \)

Вписанный угол \( \angle NKL \) опирается на дугу NK, значит:

\( \angle NKL = \frac{1}{2} \text{дуги } NK = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

Далее, \( MN = KL = 6.4 \) см.

Рассмотрим треугольник KOL. Так как OK = OL (радиусы), то \( \triangle KOL \) — равнобедренный.

Угол \( \angle KOL \) — центральный угол, опирающийся на дугу KL. Дуга KL = \( 2 \times \angle KML \).

В \( \triangle MNK \), \( \angle MNK = 60^{\circ} \). Так как MN — касательная, то радиус ON перпендикулярен MN. \( \angle ONM = 90^{\circ} \).

В \( \triangle MON \), \( \angle MON = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle NMO \).

Угол \( \angle MNR \) — это угол между касательной MN и хордой NR. Если NR — диаметр, то \( \angle MNR = 90^{\circ} \).

Если NR — диаметр, то \( \angle NKR = 90^{\circ} \).

Поскольку \( MN = KL = 6.4 \) см, и \( \angle MNK = 60^{\circ} \), то дуга NK = \( 120^{\circ} \). Дуга KL = \( 120^{\circ} \).

Угол \( \angle KNL \) опирается на дугу KL, следовательно, \( \angle KNL = \frac{1}{2} \text{дуги } KL = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle MNL \) — это угол между касательной MN и хордой NL. Он равен половине дуги NL.

Дуга NL = \( 360^{\circ} - \text{дуга } NK - \text{дуга } KL = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 120^{\circ} = 120^{\circ} \).

\( \angle MNL = \frac{1}{2} \text{дуги } NL = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \angle MNR = \angle MNK + \angle KNL = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \). Это неверно, так как \( \angle MNR \) должно быть 90 градусов, если NR — касательная. Но NR — это хорда.

Рассмотрим \( \angle MNK = 60^{\circ} \). Это угол между касательной MN и хордой NK. Этот угол равен \( 60^{\circ} \). Следовательно, дуга NK = \( 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Так как \( KL = 6.4 \) см, и \( MN = KL \), то \( MN = 6.4 \) см.

Треугольник MNK вписан в окружность. \( \angle MNK = 60^{\circ} \).

Треугольник KOL равнобедренный, OK=OL=R. Угол \( \angle KRL \) — вписанный, опирается на дугу KL.

Рассмотрим \( \angle MNR \). Поскольку MN — касательная, то радиус ON перпендикулярен MN. \( \angle MNO = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle KNL \) — вписанный. Он опирается на дугу KL.

Угол \( \angle LMN = 60^{\circ} \). Это угол между касательной и хордой. Он равен половине дуги NK.

Дуга NK = \( 2 \times \angle LMN = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Треугольник MNK вписан в окружность. \( \angle MNK = 60^{\circ} \).

Так как \( MN = KL = 6.4 \) см, то дуга KL равна дуге NK.

Дуга KL = Дуга NK = \( 120^{\circ} \).

Тогда дуга NL = \( 360^{\circ} - 120^{\circ} - 120^{\circ} = 120^{\circ} \).

Угол \( \angle MNR \) — угол между касательной MN и хордой NR. Он равен половине дуги NR.

Если дуга NL = \( 120^{\circ} \), то дуга NR = дуга NL = \( 120^{\circ} \).

\( \angle MNR = \frac{1}{2} \text{дуги } NR = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \angle NKL \) — вписанный, опирается на дугу NL.

\( \angle NKL = \frac{1}{2} \text{дуги } NL = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Диаметр. \( KL = 6.4 \) см. \( KL \) — хорда. \( \angle MNK = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle MNK \) равен половине дуги NK. Дуга NK = \( 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Так как \( MN = KL \), то дуга KL = дуга NK = \( 120^{\circ} \).

Дуга NL = \( 360^{\circ} - 120^{\circ} - 120^{\circ} = 120^{\circ} \).

Таким образом, все три дуги NK, KL, NL равны \( 120^{\circ} \).

Угол \( \angle MNR \) — угол между касательной MN и хордой NR. Он равен половине дуги NR.

Дуга NR = дуга NL = \( 120^{\circ} \).

\( \angle MNR = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle NKL \) — вписанный, опирается на дугу NL.

\( \angle NKL = \frac{1}{2} \text{дуги } NL = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Диаметр. \( KL = 6.4 \) см. \( KL \) — хорда.

В \( \triangle KOL \), \( OK = OL = R \). \( \angle KOL = 180^{\circ} - 2 \times \angle OLK \).

Угол \( \angle MNK = 60^{\circ} \) (угол между касательной и хордой). Половина дуги NK. Дуга NK = \( 120^{\circ} \).

Так как \( KL = MN \), то дуга KL = дуга NK = \( 120^{\circ} \).

Дуга NL = \( 360^{\circ} - 120^{\circ} - 120^{\circ} = 120^{\circ} \).

Значит, \( KL \) — хорда, стягивающая дугу \( 120^{\circ} \).

В \( \triangle KOL \), \( \angle KOL = 120^{\circ} \). По теореме косинусов:

\[ KL^2 = OK^2 + OL^2 - 2 OK OL \cos(120^{\circ}) \]

\[ (6.4)^2 = R^2 + R^2 - 2 R^2 \times (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2 \]

\[ R^2 = \frac{(6.4)^2}{3} \]

\[ R = \frac{6.4}{\sqrt{3}} = \frac{6.4 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Диаметр = \( 2R = \frac{12.8 \sqrt{3}}{3} \) см.

\( \angle MNR \) — угол между касательной MN и хордой NR. Он равен половине дуги NR.

Дуга NR = дуга NL = \( 120^{\circ} \).

\( \angle MNR = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \angle NKL \) — вписанный, опирается на дугу NL.

\( \angle NKL = \frac{1}{2} \text{дуги } NL = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: диаметр = \( \frac{12.8 \sqrt{3}}{3} \) см, \( \angle MNR = 60^{\circ} \), \( \angle NKL = 60^{\circ} \).