Ответ:

В нескольких местах пропущены окончания и буквы. Фрагмент «они быстро...т дом» по фотографии нельзя восстановить однозначно: неясно, какое слово задумано.

Он едет по полю, по синему морю, из-за туч, много луж, идти по аллее, ветхий шалаш, они быстро...т дом, туман стелется, в дальнюю поездку, остров сокровищ, учебник математики, чёрный грач, они борются, надо стремиться к успеху, большим пальцем, любуемся морем, оказать помощь.

В формах «туч», «луж», «шалаш», «сокровищ», «грач» на конце пишется ноль окончаний; в слове «помощь» нужен мягкий знак.

Чтобы заполнить фрагмент «они быстро...т дом», нужно увидеть его чётче или уточнить задуманное слово.