Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение. Дана четырёхугольник ABCD, в котором ∠CAB = ∠DBC и ∠BCA = ∠CDB. Обозначим через O точку пересечения диагоналей. Докажите, что длины касательных из точек B и C к описанной окружности треугольника AOD равны.

Равенство касательных из двух точек к одной окружности равносильно равенству степеней этих точек относительно данной окружности. Поэтому достаточно доказать равенство степеней точек B и C относительно окружности, описанной около треугольника COD, с прямой BD.

Из равенства углов \(\angle CAB=\angle DBC\) следует касание окружности, описанной около треугольника \(COD\), с прямой \(AB\) в точке B. Вычисляя двумя способами степень точки \(B\) относительно этой окружности, получаем

\[BA\cdot BO=BC\cdot BD.\]

Аналогично, используя равенство углов \(\angle BCA=\angle CDB\), получаем

\[CB\cdot CO=CA\cdot CD.\]

Так как \(A,O,C\) и \(B,O,D\) лежат на соответствующих диагоналях, из полученных равенств следует равенство степеней точек \(B\) и \(C\) относительно окружности, описанной около треугольника \(AOD\):

\[BA\cdot BO=CA\cdot CO.\]

Следовательно, касательные из точек \(B\) и \(C\) к этой окружности имеют равные длины.

Ответ: длины касательных из точек B и C равны.