Заполните пропуски в доказательстве. Предположим, что можно нарисовать на плоскости 17 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с одним другим. Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют отрезкам, а ребро соединяет вершины, если отрезки пересекаются. Число вершин в таком графе будет равно ____, и из каждой вершины будет выходить ____. Тогда сумма степеней всех вершин будет равна ____, что противоречит лемме о рукопожатиях.

Решение:

Эта задача связана с теорией графов и леммой о рукопожатиях. Давайте разберем ее по шагам.

1. Предпосылка: У нас есть 17 отрезков, и каждый пересекается ровно с одним другим.
2. Построение графа:
• Вершины графа соответствуют отрезкам.
• Ребро соединяет две вершины, если соответствующие отрезки пересекаются.
3. Анализ условия: Поскольку каждый отрезок пересекается ровно с одним другим, это означает, что каждая вершина в нашем графе будет иметь степень ровно 1 (то есть из каждой вершины будет выходить одно ребро).
4. Число вершин: Число вершин в таком графе будет равно количеству отрезков, то есть 17.
5. Степень вершины: Из каждой вершины будет выходить 1 ребро (так как каждый отрезок пересекается ровно с одним другим).
6. Сумма степеней: Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер. Если каждая из 17 вершин имеет степень 1, то сумма степеней будет равна 17 * 1 = 17.
7. Противоречие: Сумма степеней всех вершин графа всегда должна быть четным числом (так как она равна удвоенному числу ребер). В нашем случае сумма степеней равна 17, что является нечетным числом. Это противоречит лемме о рукопожатиях.

Выводы:

• Предположение о том, что можно нарисовать 17 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с одним другим, неверно.
• Число вершин в таком графе будет равно 17.
• Из каждой вершины будет выходить 1 (ребро).
• Сумма степеней всех вершин будет равна 17.

Заполнение пропусков:

• Число вершин в таком графе будет равно 17, и из каждой вершины будет выходить 1. Тогда сумма степеней всех вершин будет равна 17, что противоречит лемме о рукопожатиях.

Ответ: 17, 1, 17