Заполните пропуски в схеме доказательства теоремы о вписанном угле (случай, когда одна из сторон проходит через центр окружности).

Вот заполненная схема доказательства теоремы о вписанном угле:

Условие:
Окружность с центром O, \(\angle ABC\) – вписанный
Пусть O \(\in\) BC

Далее:
\(AO = BO\)
\(\triangle AOB\) – равнобедренный
\(\angle OAB = \angle OBA\)
\(\angle AOC\) – внешний

Так как \(AO = BO\), \(\triangle AOB\) равнобедренный, следовательно углы при основании равны, а именно \(\angle OAB = \angle OBA\).
Угол \(\angle AOC\) является внешним углом для \(\triangle AOB\), значит он равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

\(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO\)
\(\angle ABC = \angle ABO = \angle OAB\)
\( \cup AC < \cup BC\)
\( \cup AC = \angle AOC\)

Тогда:
\(\angle AOC = 2\angle ABO\)
\(\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cup AC\)

Заключение:
\(\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cup AC\)

Объяснение для ученика:

1. Вписанный угол: Угол \(\angle ABC\) называется вписанным, потому что его вершина (точка B) лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
2. Центральный угол: Угол \(\angle AOC\) называется центральным, потому что его вершина (точка O) находится в центре окружности.
3. Равнобедренный треугольник: Так как AO и BO - это радиусы окружности, они равны. Поэтому треугольник AOB - равнобедренный.
4. Внешний угол треугольника: Угол, который находится снаружи треугольника и смежный с одним из его внутренних углов. Внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним.

Таким образом, мы показали, что вписанный угол \(\angle ABC\) равен половине центрального угла \(\angle AOC\), опирающегося на ту же дугу AC.