Заполните таблицу, определяя знаки корней квадратных уравнений, не решая их.

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему Виета, которая связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями. Общий вид квадратного уравнения: (x^2 + px + q = 0). Согласно теореме Виета, сумма корней (x_1 + x_2 = -p), а произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = q\). По знаку произведения мы определяем, одинаковые ли знаки у корней, а по знаку суммы - какой именно знак у корней. Если произведение (q) положительное, то корни имеют одинаковые знаки, а если (q) отрицательное, то корни имеют разные знаки. Когда корни имеют разные знаки, то у корня большего по модулю будет знак, противоположный знаку суммы, а у меньшего по модулю - знак суммы.

Заполним таблицу:

1. (x^2 - 16x + 11 = 0)
* (-p = 16), (q = 11). Так как (q) положительно, корни одного знака. Сумма корней положительна, значит оба корня положительны.

2. (x^2 + 16x + 11 = 0)
* (-p = -16), (q = 11). Так как (q) положительно, корни одного знака. Сумма корней отрицательна, значит оба корня отрицательны.

3. (x^2 + x - 56 = 0)
* (-p = -1), (q = -56). Так как (q) отрицательно, корни разных знаков. Больший по модулю корень будет положительным, а меньший - отрицательным, так как сумма корней отрицательная.

4. (x^2 - x - 56 = 0)
* (-p = 1), (q = -56). Так как (q) отрицательно, корни разных знаков. Больший по модулю корень будет положительным, а меньший - отрицательным, так как сумма корней положительная.

5. (x^2 - 2x - 15 = 0)
* (-p = 2), (q = -15). Так как (q) отрицательно, корни разных знаков. Больший по модулю корень будет положительным, а меньший - отрицательным, так как сумма корней положительная.

6. (x^2 - 8x - 15 = 0)
* (-p = 8), (q = -15). Так как (q) отрицательно, корни разных знаков. Больший по модулю корень будет положительным, а меньший - отрицательным, так как сумма корней положительная.

7. (x^2 - 8x + 15 = 0)
* (-p = 8), (q = 15). Так как (q) положительно, корни одного знака. Сумма корней положительна, значит оба корня положительны.

Таким образом, таблица будет заполнена следующим образом:

| № | Уравнение | -p | q | Знак большего корня | Знак меньшего корня |
|----|-----------------|-----|-----|---------------------|----------------------|
| 1 | x² - 16x + 11 = 0 | 16 | 11 | + | + |
| 2 | x² + 16x + 11 = 0 | -16 | 11 | - | - |
| 3 | x² + x - 56 = 0 | -1 | -56 | + | - |
| 4 | x² - x - 56 = 0 | 1 | -56 | + | - |
| 5 | x² - 2x - 15 = 0 | 2 | -15 | + | - |
| 6 | x² - 8x - 15 = 0 | 8 | -15 | + | - |
| 7 | x² - 8x + 15 = 0 | 8 | 15 | + | + |