Заполните таблицу соответствующими ответами. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины Х: f(x) = { 0, x < 0 C / (x + 1)^4, x ≥ 0

Решение:

Для нахождения константы C, проинтегрируем плотность вероятности от -∞ до +∞ и приравняем к 1.

• \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \]
• \[ \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{\infty} \frac{C}{(x+1)^4} dx = 1 \]
• \[ C \int_{0}^{\infty} (x+1)^{-4} dx = 1 \]
• Сделаем замену переменной: u = x + 1, тогда du = dx. Пределы интегрирования: при x = 0, u = 1; при x → ∞, u → ∞.
• \[ C \int_{1}^{\infty} u^{-4} du = 1 \]
• \[ C \left[ \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{\infty} = 1 \]
• \[ C \left( 0 - \frac{1^{-3}}{-3} \right) = 1 \]
• \[ C \left( 0 - (-\frac{1}{3}) \right) = 1 \]
• \[ C \cdot \frac{1}{3} = 1 \]
• \[ C = 3 \]

Теперь рассчитаем математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднеквадратическое отклонение σ.

Математическое ожидание M(X):

• \[ M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \]
• \[ M(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{3}{(x+1)^4} dx \]
• Сделаем замену переменной: u = x + 1, тогда x = u - 1, du = dx. Пределы интегрирования: от 1 до ∞.
• \[ M(X) = 3 \int_{1}^{\infty} (u-1) u^{-4} du \]
• \[ M(X) = 3 \int_{1}^{\infty} (u^{-3} - u^{-4}) du \]
• \[ M(X) = 3 \left[ \frac{u^{-2}}{-2} - \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{\infty} \]
• \[ M(X) = 3 \left[ -\frac{1}{2u^2} + \frac{1}{3u^3} \right]_{1}^{\infty} \]
• \[ M(X) = 3 \left( (0 - 0) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \right) \]
• \[ M(X) = 3 \left( - (-\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) \right) = 3 \left( - (-\frac{1}{6}) \right) = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \]

Дисперсия D(X):

• \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]
• Сначала найдем M(X^2):
• \[ M(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot \frac{3}{(x+1)^4} dx \]
• Снова замена: u = x + 1, x = u - 1, du = dx. Пределы: от 1 до ∞.
• \[ M(X^2) = 3 \int_{1}^{\infty} (u-1)^2 u^{-4} du \]
• \[ M(X^2) = 3 \int_{1}^{\infty} (u^2 - 2u + 1) u^{-4} du \]
• \[ M(X^2) = 3 \int_{1}^{\infty} (u^{-2} - 2u^{-3} + u^{-4}) du \]
• \[ M(X^2) = 3 \left[ \frac{u^{-1}}{-1} - 2\frac{u^{-2}}{-2} + \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{\infty} \]
• \[ M(X^2) = 3 \left[ -\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} - \frac{1}{3u^3} \right]_{1}^{\infty} \]
• \[ M(X^2) = 3 \left( (0 + 0 - 0) - \left( -1 + 1 - \frac{1}{3} \right) \right) \]
• \[ M(X^2) = 3 \left( - (- \frac{1}{3}) \right) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \]
• Теперь найдем дисперсию:
• \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Среднеквадратическое отклонение σ:

• \[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Вероятность P(X > mx):

Так как M(X) = 1/2, нам нужно найти P(X > 1/2).

• \[ P(X > 1/2) = \int_{1/2}^{\infty} f(x) dx = \int_{1/2}^{\infty} \frac{3}{(x+1)^4} dx \]
• \[ P(X > 1/2) = 3 \left[ \frac{(x+1)^{-3}}{-3} \right]_{1/2}^{\infty} = - \left[ (x+1)^{-3} \right]_{1/2}^{\infty} \]
• \[ P(X > 1/2) = - (0 - (1/2+1)^{-3}) = (1.5)^{-3} = (3/2)^{-3} \]
• \[ P(X > 1/2) = (2/3)^3 = \frac{8}{27} \]

Медиана Me:

Медиана Me — это значение, для которого P(X ≤ Me) = 0.5.

• \[ \int_{0}^{Me} \frac{3}{(x+1)^4} dx = 0.5 \]
• \[ - \left[ (x+1)^{-3} \right]_{0}^{Me} = 0.5 \]
• \[ - ((Me+1)^{-3} - (0+1)^{-3}) = 0.5 \]
• \[ - (Me+1)^{-3} + 1 = 0.5 \]
• \[ 1 - (Me+1)^{-3} = 0.5 \]
• \[ (Me+1)^{-3} = 0.5 \]
• \[ (Me+1)^3 = 2 \]
• \[ Me+1 = \sqrt[3]{2} \]
• \[ Me = \sqrt[3]{2} - 1 \]

Ответ: заполнена таблица выше.