Заряженные тела подвешены на двух нитях в вакууме. При их помещении в жидкое вещество (ρ = 790 кг/м³, ε = 250) угол между нитями не изменяется. Найди плотность тел. (Ответ округли до целых.)

Решение:

Эта задача связана с физикой, а именно с электростатикой и механикой. Условие, что угол между нитями не изменяется при погружении тел в жидкость, означает, что силы, действующие на тела, остаются сбалансированными. В вакууме на тело действуют сила тяжести и сила натяжения нитей. В жидкости к этим силам добавляется выталкивающая сила (сила Архимеда).

Пусть m — масса тела, ρ_тела — плотность тела, g — ускорение свободного падения, T — сила натяжения нити, F_A — сила Архимеда, V — объем тела, ρ_{жидкости} — плотность жидкости, E — диэлектрическая проницаемость среды.

В вакууме условие равновесия (если угол между нитями равен 2α) можно представить как:

\( T_{вакуум} \cos(α) = mg \)

\( T_{вакуум} \sin(α) = F_{электрическая} \)

В жидкости:

\( T_{жидкость} \cos(α) = mg - F_A \)

\( T_{жидкость} \sin(α) = F_{электрическая}' \)

Важно понимать, что сила между заряженными телами в среде с диэлектрической проницаемостью ε уменьшается в ε раз по сравнению с вакуумом. То есть:

\( F_{электрическая}' = \frac{F_{электрическая}}{\epsilon} \)

Условие, что угол между нитями не изменяется, означает, что \( \tan(α) \) остается прежним:

\( \tan(α) = \frac{F_{электрическая}}{mg} = \frac{F_{электрическая}'}{mg - F_A} \)

Подставляем \( F_{электрическая}' = \frac{F_{электрическая}}{\epsilon} \):

\( \frac{F_{электрическая}}{mg} = \frac{F_{электрическая}/\epsilon}{mg - F_A} \)

Сокращаем \( F_{электрическая} \) (если она не равна нулю, что подразумевается заряженными телами):

\( 1 = \frac{1/\epsilon}{1 - F_A/(mg)} \)

\( 1 - \frac{F_A}{mg} = \frac{1}{\epsilon} \)

\( \frac{F_A}{mg} = 1 - \frac{1}{\epsilon} \)

Теперь подставим выражения для силы Архимеда \( F_A = \rho_{жидкости} g V \) и массы \( m = \rho_{тела} V \):

\( \frac{\rho_{жидкости} g V}{\rho_{тела} V g} = 1 - \frac{1}{\epsilon} \)

Сокращаем \( V \) и \( g \):

\( \frac{\rho_{жидкости}}{\rho_{тела}} = 1 - \frac{1}{\epsilon} \)

Нам известны \( \rho_{жидкости} = 790 \) кг/м³ и \( \epsilon = 250 \). Нужно найти \( \rho_{тела} \).

Выразим \( \rho_{тела} \):

\( \rho_{тела} = \frac{\rho_{жидкости}}{1 - 1/\epsilon} \)

Подставляем значения:

\( \rho_{тела} = \frac{790}{1 - 1/250} = \frac{790}{1 - 0.004} = \frac{790}{0.996} \)

Вычисляем:

\( \rho_{тела} \approx 793.17 \) кг/м³

Округляем до целых:

\( \rho_{тела} \approx 793 \) кг/м³

Ответ: 793 кг/м³.