Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой: q=170-10р. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) определяется как r(p) = q⋅p. Определите наибольшую цену р, при которой выручка за месяц r(p) составит 520 тыс. руб. Ответ приведите в тысячах рублей.

Решение:

1. Дано: \( q = 170 - 10p \) (единиц/месяц), \( r(p) = q \cdot p \) (тыс. руб.), \( r(p) = 520 \) (тыс. руб.).
2. Найдем функцию выручки \( r(p) \) подставив выражение для \( q \):
   \( r(p) = (170 - 10p) \cdot p \)
   \( r(p) = 170p - 10p^2 \)
3. Приравняем функцию выручки к заданному значению:

\( 170p - 10p^2 = 520 \)

4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 10p^2 - 170p + 520 = 0 \)

5. Разделим все уравнение на 10 для упрощения:

\( p^2 - 17p + 52 = 0 \)

6. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант. \( D = b^2 - 4ac \)

\( a = 1, b = -17, c = 52 \)

\( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81 \)

7. Найдем корни уравнения:

\( p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( p_1 = \frac{17 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 9}{2} = \frac{26}{2} = 13 \)

\( p_2 = \frac{17 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Получили две цены, при которых выручка составит 520 тыс. руб.: 4 тыс. руб. и 13 тыс. руб.

В задаче требуется найти наибольшую цену.

Ответ: 13.