Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле: T(t)=To+bt+at², где t – время в минутах, То=1420 К, а=–20 К/мин², b=180 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1700 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время (в минутах) после начала работы нужно отключит прибор:

Решение:

Нам дана формула зависимости температуры от времени: T(t) = T₀ + bt + at².

Известно, что:

• T₀ = 1420 К
• b = 180 К/мин
• a = -20 К/мин²

Прибор может испортиться, если температура превысит 1700 К. Нам нужно найти наибольшее время t, когда температура достигнет 1700 К.

Подставим известные значения в формулу:

1700 = 1420 + 180t + (-20)t²

Теперь решим это квадратное уравнение:

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения Ax² + Bx + C = 0:
• -20t² + 180t + 1420 - 1700 = 0
• -20t² + 180t - 280 = 0
2. Упростим уравнение, разделив все члены на -20:
• t² - 9t + 14 = 0
3. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 9, а произведение равно 14.
• t₁ + t₂ = 9
• t₁ * t₂ = 14
4. Подбираем числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 2 и 7.
• 2 + 7 = 9
• 2 * 7 = 14
5. Таким образом, мы получили два значения времени, при которых температура достигает 1700 К: t₁ = 2 минуты и t₂ = 7 минут.

Поскольку нам нужно определить наибольшее время, через которое прибор нужно отключить, чтобы он не испортился, мы выбираем большее значение.

Ответ: 7 минут