Здесь представлено условие задачи с геометрическим чертежом и дополнительной информацией. Необходимо решить задачу, используя предоставленные данные, и записать ответ.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( \angle C = 90^{\circ} \). В треугольник вписан круг с центром \( O \) и радиусом \( r = 3 \text{ см} \).

Из чертежа видно, что \( AC \) и \( BC \) являются касательными к окружности. Точки касания делят стороны треугольника на отрезки. Пусть \( N \) — точка касания на \( AC \), \( K \) — точка касания на \( AB \) и \( M \) — точка касания на \( BC \).

Так как \( CMON \) — квадрат ( \( CM=CN=OM=ON=r=3 \text{ см} \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( OM \perp BC \), \( ON \perp AC \) ), то \( CM = CN = 3 \text{ см} \).

По условию \( AB = 15 \text{ см} \).

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

• \( AK = AN \)
• \( BK = BM \)

Мы знаем, что \( BC = BM + MC = BM + 3 \).

Мы знаем, что \( AC = AN + NC = AN + 3 \).

Так как \( AB = AK + KB \), то \( 15 = AK + BK \).

Из чертежа видно, что \( AM \perp BC \) и \( BN \perp AC \). Указанные на чертеже засечки на сторонах \( AC \) и \( BC \) равны, то есть \( AN = NC \) и \( BM = MC \). Это означает, что \( AC \) и \( BC \) делятся точками касания пополам, что возможно только если \( AC = BC \).

По условию \( AB = 15 \text{ см} \) и \( r = 3 \text{ см} \).

Из равенства сторон \( AC = BC \) следует, что треугольник \( ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны \( a \), а гипотенуза \( c = a \sqrt{2} \).

В нашем случае \( AB = 15 \) — гипотенуза. Значит, \( AC = BC = \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \).

Для прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c \), вписанный радиус \( r \) находится по формуле: \( r = \frac{a + b - c}{2} \).

Подставим значения:

\[ 3 = \frac{\frac{15\sqrt{2}}{2} + \frac{15\sqrt{2}}{2} - 15}{2} \]

\[ 6 = 15\sqrt{2} - 15 \]

\[ 6 = 15 (\sqrt{2} - 1) \]

\[ \sqrt{2} - 1 = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0.4 \]

\[ \sqrt{2} = 1.4 \]

Это противоречит тому, что \( \sqrt{2} \approx 1.414 \).

Проверим условие равенства отрезков касательных, исходящих из вершин. Из чертежа видно, что \( AN = NC = 3 \) и \( BM = MC = 3 \). Это возможно, если \( C \) — вершина прямого угла.

Тогда \( AC = AN + NC = 3 + 3 = 6 \text{ см} \) и \( BC = BM + MC = 3 + 3 = 6 \text{ см} \).

По теореме Пифагора найдём гипотенузу \( AB \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \]

\[ AB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см} \).

Но по условию \( AB = 15 \text{ см} \).

Значит, предположение, что \( AN = NC \) и \( BM = MC \) (то есть \( AC=BC \)) неверно. Засечки на сторонах \( AC \) и \( BC \) означают, что \( AC \) и \( BC \) делятся точкой касания пополам. Это возможно только если \( AC = BC \).

Вернемся к формуле радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника: \( r = \frac{a + b - c}{2} \).

У нас \( r = 3 \), \( c = AB = 15 \). Пусть \( AC = b \) и \( BC = a \). Тогда \( a^2 + b^2 = 15^2 = 225 \).

\[ 3 = \frac{a + b - 15}{2} \]

\[ 6 = a + b - 15 \]

\[ a + b = 21 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 21 \)
2. \( a^2 + b^2 = 225 \)

Из первого уравнения выразим \( b = 21 - a \) и подставим во второе:

\[ a^2 + (21 - a)^2 = 225 \]

\[ a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225 \]

\[ 2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0 \]

\[ 2a^2 - 42a + 216 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ a^2 - 21a + 108 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9 \]

Найдем корни \( a \):

\[ a_1 = \frac{21 + \sqrt{9}}{2} = \frac{21 + 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ a_2 = \frac{21 - \sqrt{9}}{2} = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

Если \( a = 12 \), то \( b = 21 - 12 = 9 \). Если \( a = 9 \), то \( b = 21 - 9 = 12 \).

То есть катеты треугольника равны \( 9 \text{ см} \) и \( 12 \text{ см} \).

Пусть \( BC = a = 12 \text{ см} \) и \( AC = b = 9 \text{ см} \).

Теперь найдём отрезки касательных от вершин.

У нас \( AB = 15 \), \( AC = 9 \), \( BC = 12 \).

Пусть \( K \) — точка касания на \( AB \), \( N \) — на \( AC \), \( M \) — на \( BC \).

\( AK = AN \), \( BK = BM \), \( CM = CN = r = 3 \).

\( AC = AN + NC \) => \( 9 = AN + 3 \) => \( AN = 6 \text{ см} \).

\( BC = BM + MC \) => \( 12 = BM + 3 \) => \( BM = 9 \text{ см} \).

Тогда \( AK = AN = 6 \text{ см} \).

\( BK = BM = 9 \text{ см} \).

Проверим гипотенузу: \( AK + BK = 6 + 9 = 15 \text{ см} \). Это совпадает с данным \( AB = 15 \text{ см} \).

Значит, \( AK = 6 \text{ см} \) и \( KB = 9 \text{ см} \).

Окончательный ответ:

AK = 6 см

KB = 9 см