Здесь представлены задачи по геометрии. Необходимо предоставить решение.

Привет! Давай вместе решим эти задачи по геометрии. Будем идти шаг за шагом, и ты увидишь, как все просто и понятно.

Задача 1

В данной задаче нам нужно доказать, что прямые \( MN \) и \( AC \) параллельны. У нас есть углы \( \angle 1 = 65^{\circ} \) и \( \angle 2 = 115^{\circ} \).

Решение:

1. Найдем смежный угол с углом \( \angle 2 \). Обозначим его как \( \angle 3 \). Так как смежные углы в сумме дают \( 180^{\circ} \), то:

   \[ \angle 3 = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \]

2. Теперь сравним углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \). Видим, что \( \angle 1 = \angle 3 = 65^{\circ} \).

3. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются соответственными углами при прямых \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AM \). Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Вывод: Так как \( \angle 1 = \angle 3 \), то прямые \( MN \) и \( AC \) параллельны. Что и требовалось доказать.

Задача 2

В этой задаче нам дано, что \( \angle 1 = 52^{\circ} \) и \( \angle 7 = 128^{\circ} \). Нужно доказать, что прямые \( a \) и \( b \) параллельны.

Решение:

1. Найдем угол \( \angle 5 \). Углы \( \angle 7 \) и \( \angle 5 \) являются смежными, поэтому:

   \[ \angle 5 = 180^{\circ} - \angle 7 = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ} \]

2. Теперь сравним углы \( \angle 1 \) и \( \angle 5 \). Видим, что \( \angle 1 = \angle 5 = 52^{\circ} \).

3. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 5 \) являются соответственными углами при прямых \( a \) и \( b \) и секущей. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Вывод: Так как \( \angle 1 = \angle 5 \), то прямые \( a \) и \( b \) параллельны. Что и требовалось доказать.

Задача 3

В этой задаче нам дано, что \( \angle 1 = \angle 2 \), \( AB = BC \) и \( DK = KM \). Нужно доказать, что \( AB \parallel KM \) и \( BC \parallel DK \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Так как \( AB = BC \), то треугольник \( ABC \) — равнобедренный. Значит, углы при основании равны, то есть \( \angle BAC = \angle BCA \).

2. Так как \( \angle 1 = \angle 2 \), то \( AK \) и \( CM \) — биссектрисы углов \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) соответственно. Следовательно, \( \angle BAK = \angle KAC = \angle MCB = \angle MCA \).

3. Рассмотрим треугольники \( ABK \) и \( CBM \). У них \( AB = BC \), \( \angle BAK = \angle MCB \). Значит, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

4. Так как \( DK = KM \), треугольник \( DKM \) - равнобедренный, углы при основании равны \( \angle KDM = \angle DMK \)

5. Рассмотрим четырехугольник \( ABCD \), сумма углов четырехугольника равна \( 360^{\circ} \), соответственно \( \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ} \)

Для строгого доказательства параллельности \( AB \parallel KM \) и \( BC \parallel DK \) требуется больше информации об углах и сторонах, либо использование дополнительных построений и теорем.

Ответ: Решения задач представлены выше.

Ты отлично справляешься! Продолжай в том же духе, и все получится!