Женщина везла на базар корзину яиц. Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала и яйца разбились. Виновник несчастья, желая возместить потерю, поинтересовался, сколько яиц было в корзине. - Точно не помню, - ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в корзине ничего не оставалось. Какое наименьшее число яиц могло быть в корзине?

Решение:

Обозначим начальное количество яиц в корзине как \( N \).

По условию задачи, когда из корзины вынимали яйца по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 штук, оставалось одно яйцо. Это означает, что \( N - 1 \) делится нацело на 2, 3, 4, 5 и 6.

Значит, \( N - 1 \) является общим кратным чисел 2, 3, 4, 5, 6.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел:

• Разложим числа на простые множители:
• \( 2 = 2 \)
• \( 3 = 3 \)
• \( 4 = 2^2 \)
• \( 5 = 5 \)
• \( 6 = 2 \times 3 \)
• НОК(2, 3, 4, 5, 6) = \( 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \).

Таким образом, \( N - 1 \) должно быть кратно 60. Наименьшее такое значение \( N - 1 \) равно 60.

Тогда \( N = 60 + 1 = 61 \).

Проверим второе условие: когда из корзины вынимали по 7 яиц, ничего не оставалось. Это означает, что \( N \) делится нацело на 7.

Проверим, делится ли 61 на 7: \( 61 \div 7 = 8 \) с остатком 5. Значит, 61 не подходит.

Следующее значение, когда \( N - 1 \) кратно 60, это \( 60 \times 2 = 120 \). Тогда \( N = 120 + 1 = 121 \).

Проверим, делится ли 121 на 7: \( 121 \div 7 = 17 \) с остатком 2. Значит, 121 не подходит.

Следующее значение, когда \( N - 1 \) кратно 60, это \( 60 \times 3 = 180 \). Тогда \( N = 180 + 1 = 181 \).

Проверим, делится ли 181 на 7: \( 181 \div 7 = 25 \) с остатком 6. Значит, 181 не подходит.

Следующее значение, когда \( N - 1 \) кратно 60, это \( 60 \times 4 = 240 \). Тогда \( N = 240 + 1 = 241 \).

Проверим, делится ли 241 на 7: \( 241 \div 7 = 34 \) с остатком 3. Значит, 241 не подходит.

Следующее значение, когда \( N - 1 \) кратно 60, это \( 60 \times 5 = 300 \). Тогда \( N = 300 + 1 = 301 \).

Проверим, делится ли 301 на 7: \( 301 \div 7 = 43 \). Остаток 0. Это значение подходит.

Таким образом, наименьшее число яиц, которое могло быть в корзине, равно 301.

Ответ: 301 яйцо.