Жидкий бесконечный диэлектрик с проницаемостью ε = 3 ограничен двумя концентрическими проводящими сферами радиусов a и b. Внутренность меньшей сферы также заполнена этим диэлектриком. На внешнюю сферу помещают заряд Q = 15 нКл, а внутреннюю заземляют длинным и тонким проводником, не нарушающим сферическую симметрию задачи. Какой заряд q протечёт по этому проводнику на землю, если первоначально внутренняя сфера была не заряжена?

После заземления внутренней сферы её потенциал становится равным нулю. В области между сферами поле создаётся зарядом внутренней сферы q:

\[E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2}.\]

Потенциал внутренней сферы относительно внешней равен

\[\varphi_a-\varphi_b=\int_b^a E(r)\,dr=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\left(\frac1a-\frac1b\right).\]

Внешняя сфера имеет заряд Q, поэтому её потенциал относительно земли определяется зарядом, находящимся снаружи сферы, и равен \(\varphi_b=Q/(4\pi\varepsilon_0 b)\). Так как \(\varphi_a=0\),

\[0=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b}+\frac{q}{4\pi\\varepsilon_0\varepsilon}\left(\frac1a-\frac1b\right).\]

Отсюда

\[q=-\frac{\varepsilon Qa}{b+(\varepsilon-1)a}.\]

По рисунку внутренний радиус равен \(a\), внешний — \(b\), но их численные значения на изображении не указаны. Поэтому численное значение заряда определить нельзя. При \(\varepsilon=3\) и \(Q=15\) нКл:

\[q=-\frac{45a}{b+2a}\text{ нКл}.\]

Ответ: \(q=-\dfrac{45a}{b+2a}\) нКл; для численного ответа необходимы значения радиусов \(a\) и \(b\).