Значение какого из выражений является числом рациональным? 1) √3-√7 2) √9/√2 3) (√7-√2)(√7+√2) 4) (√2-√5)²

Question

Вопрос:

Значение какого из выражений является числом рациональным? 1) √3-√7 2) √9/√2 3) (√7-√2)(√7+√2) 4) (√2-√5)²

Ответ:

Accepted Answer

Чтобы определить, какое из выражений является рациональным числом, нужно упростить каждое из них и посмотреть, можно ли представить результат в виде дроби, где числитель и знаменатель - целые числа.

$$ \sqrt{3} - \sqrt{7} $$ - Оба корня являются иррациональными числами, и их разность также будет иррациональным числом.
$$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} $$ - В знаменателе иррациональное число, поэтому дробь является иррациональной.
$$ (\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) $$ - Это разность квадратов: $$ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $$. Тогда $$ (\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5 $$. Число 5 является рациональным.
$$ (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 $$ - Раскроем квадрат: $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$. Тогда $$ (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 2 - 2\sqrt{10} + 5 = 7 - 2\sqrt{10} $$. Так как есть иррациональное число $$ \sqrt{10} $$, то и результат иррационален.

Таким образом, только выражение под номером 3 является рациональным числом.

Значение выражения (√7-√2)(√7+√2) = 5

Ответ: 3, 5