Значение какого из выражений является числом рациональным? a. (√2-7)² b. √6 c. √7-√2 d. (√7-2)(√7+2)

Решение:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби \( \frac{m}{n} \), где \( m \) — целое число, а \( n \) — натуральное число. Иррациональные числа содержат корень, который нельзя извлечь точно.

Рассмотрим каждый вариант:

1. \( (\sqrt{2}-7)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 7 + 7^2 = 2 - 14\sqrt{2} + 49 = 51 - 14\sqrt{2} \). Содержит \( \sqrt{2} \), поэтому иррациональное.
2. \( \sqrt{6} \). Корень из 6 не извлекается точно, это иррациональное число.
3. \( \sqrt{7}-\sqrt{2} \). Разность иррациональных чисел, скорее всего, иррациональное.
4. \( (\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) \). Это разность квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).
5. \( (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3 \). Число 3 является рациональным (его можно представить как \( \frac{3}{1} \)).

Ответ: d. (√7-2)(√7+2)