Значение выражения $$4^{\log_2(7-x_0)}$$, где $$x_0$$ – корень уравнения $$3^{x+1} \cdot 5^x = 45\sqrt{225^{3x+11}}$$, равно ...

Решим уравнение: $$3^{x+1} \cdot 5^x = 45\sqrt{225^{3x+11}}$$

Преобразуем уравнение:

• $$3^{x+1} \cdot 5^x = 45\sqrt{(15^2)^{3x+11}}$$
• $$3^{x+1} \cdot 5^x = 45\sqrt{15^{6x+22}}$$
• $$3^{x+1} \cdot 5^x = 45 \cdot 15^{\frac{6x+22}{2}}$$
• $$3^{x+1} \cdot 5^x = 45 \cdot 15^{3x+11}$$
• $$3^{x+1} \cdot 5^x = 3^2 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 5)^{3x+11}$$
• $$3^{x+1} \cdot 5^x = 3^2 \cdot 5 \cdot 3^{3x+11} \cdot 5^{3x+11}$$
• $$3^{x+1} \cdot 5^x = 3^{3x+13} \cdot 5^{3x+12}$$

Разделим обе части уравнения на $$3^{x+1} \cdot 5^x$$:

• $$1 = 3^{3x+13-(x+1)} \cdot 5^{3x+12-x}$$
• $$1 = 3^{2x+12} \cdot 5^{2x+12}$$
• $$1 = (3 \cdot 5)^{2x+12}$$
• $$1 = 15^{2x+12}$$
• $$15^0 = 15^{2x+12}$$

Тогда $$2x+12 = 0$$, откуда $$2x = -12$$, и $$x = -6$$.

Итак, $$x_0 = -6$$. Подставим найденное значение в выражение $$4^{\log_2(7-x_0)}$$:

• $$4^{\log_2(7-(-6))} = 4^{\log_2(7+6)} = 4^{\log_2(13)}$$
• $$4^{\log_2(13)} = (2^2)^{\log_2(13)} = 2^{2\log_2(13)} = 2^{\log_2(13^2)} = 2^{\log_2(169)} = 169$$

Ответ: 169