30.29 Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 3. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, то дробь увеличится на \(\frac{1}{2}\). Найдите эту дробь.

Давай решим эту задачу вместе! Пусть числитель исходной дроби равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x + 3\). Исходная дробь имеет вид \(\frac{x}{x+3}\). После изменений числитель станет \(x + 7\), а знаменатель \(x + 3 + 5 = x + 8\). Новая дробь имеет вид \(\frac{x+7}{x+8}\). По условию задачи, новая дробь больше исходной на \(\frac{1}{2}\). Составим уравнение: \[\frac{x+7}{x+8} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2}\] Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{(x+7)(x+3) - x(x+8)}{(x+8)(x+3)} = \frac{1}{2}\] Раскроем скобки в числителе: \[\frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - x^2 - 8x}{x^2 + 3x + 8x + 24} = \frac{1}{2}\] Упростим числитель: \[\frac{2x + 21}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2}\] Умножим крест-накрест: \[2(2x + 21) = x^2 + 11x + 24\] \[4x + 42 = x^2 + 11x + 24\] Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 + 11x - 4x + 24 - 42 = 0\] \[x^2 + 7x - 18 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9\] Так как числитель дроби должен быть положительным (иначе знаменатель будет отрицательным, что не имеет смысла в контексте задачи), выбираем \(x = 2\). Тогда числитель равен 2, знаменатель равен \(2 + 3 = 5\). Исходная дробь: \(\frac{2}{5}\). Проверим: Новая дробь: \(\frac{2+7}{5+5} = \frac{9}{10}\) Разница: \(\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{2}{5}\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!