648. Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменате- лю - 5, то она увеличится на 1/2. Найдите эту дробь.

Обозначим числитель дроби за x, тогда знаменатель будет x + 3. После преобразований получим дробь (x+7)/(x+3-5), которая больше исходной дроби на 1/2. Составим уравнение:

$$ \frac{x+7}{x+3-5} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2} $$

Решим уравнение:

$$ \frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2} $$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(x+7)(x+3) - x(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - x^2 + 2x}{x^2 + 3x - 2x - 6} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{12x + 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{2} $$

Умножим обе части уравнения на 2(x² + x - 6):

$$ 2(12x + 21) = x^2 + x - 6 $$ $$ 24x + 42 = x^2 + x - 6 $$

Перенесем все в правую часть:

$$ x^2 + x - 6 - 24x - 42 = 0 $$ $$ x^2 - 23x - 48 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 529 + 192 = 721 $$ $$ x_1 = \frac{23 + \sqrt{721}}{2} $$ $$ x_2 = \frac{23 - \sqrt{721}}{2} $$

Так как числитель дроби должен быть целым числом, то корни не подходят.

Проверим условие задачи:

$$ \frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2} $$

Домножим на 2(x-2)(x+3):

$$ 2(x+7)(x+3) - 2x(x-2) = (x-2)(x+3) $$ $$ 2(x^2 + 10x + 21) - 2(x^2 - 2x) = x^2 + x - 6 $$ $$ 2x^2 + 20x + 42 - 2x^2 + 4x = x^2 + x - 6 $$ $$ 24x + 42 = x^2 + x - 6 $$ $$ x^2 - 23x - 48 = 0 $$

Проверим вычисления:

$$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 529 + 192 = 721 $$ $$ x = \frac{23 \pm \sqrt{721}}{2} $$

Вывод: в задаче ошибка, корни не целые.

Предположим, что знаменатель увеличится на 1/12:

$$ \frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{12} $$ $$ \frac{(x+7)(x+3) - x(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{1}{12} $$ $$ \frac{x^2 + 10x + 21 - x^2 + 2x}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{12} $$ $$ \frac{12x + 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{12} $$ $$ 12(12x + 21) = x^2 + x - 6 $$ $$ 144x + 252 = x^2 + x - 6 $$ $$ x^2 - 143x - 258 = 0 $$ $$ D = (-143)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-258) = 20449 + 1032 = 21481 $$ $$ x = \frac{143 \pm \sqrt{21481}}{2} $$

Корни снова не целые.

Предположим, что знаменатель увеличится на 1/3:

$$ \frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{3} $$ $$ 3(12x + 21) = x^2 + x - 6 $$ $$ 36x + 63 = x^2 + x - 6 $$ $$ x^2 - 35x - 69 = 0 $$ $$ D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-69) = 1225 + 276 = 1501 $$

Корни снова не целые.

Ошибка в условии.

Допустим, что дробь уменьшится на 1/2:

$$ \frac{x}{x+3} - \frac{x+7}{x-2} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x(x-2) - (x+7)(x+3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 - 2x - x^2 - 10x - 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{-12x - 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{2} $$ $$ -24x - 42 = x^2 + x - 6 $$ $$ x^2 + 25x + 36 = 0 $$ $$ D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 625 - 144 = 481 $$ $$ x = \frac{-25 \pm \sqrt{481}}{2} $$

Корни снова не целые.

Допустим, что знаменатель увеличится на 2, тогда:

$$ \frac{x}{x+3} - \frac{x+7}{x+2-5} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x}{x+3} - \frac{x+7}{x-3} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x(x-3) - (x+7)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 - 3x - x^2 - 10x - 21}{x^2 - 9} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{-13x - 21}{x^2 - 9} = \frac{1}{2} $$ $$ -26x - 42 = x^2 - 9 $$ $$ x^2 + 26x + 33 = 0 $$ $$ D = 26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 676 - 132 = 544 $$

Корни снова не целые.

Ответ: в задаче ошибка, нет решений в целых числах.