648. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю – 5, то она увеличится на \(\frac{1}{2}\). Найдите эту дробь.

Пусть числитель дроби равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x + 3\). Исходная дробь равна \(\frac{x}{x+3}\). После изменений числитель станет \(x + 7\), а знаменатель \(x + 3 - 5 = x - 2\). Новая дробь равна \(\frac{x+7}{x-2}\). По условию, новая дробь больше исходной на \(\frac{1}{2}\). Составим уравнение: $$\frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{(x+7)(x+3) - x(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - x^2 + 2x}{x^2 + 3x - 2x - 6} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{12x + 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{2}$$ Умножим обе части уравнения на \(2(x^2 + x - 6)\): $$2(12x + 21) = x^2 + x - 6$$ $$24x + 42 = x^2 + x - 6$$ Перенесем все члены в правую часть: $$x^2 - 23x - 48 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 529 + 192 = 721$$ $$x_1 = \frac{23 + \sqrt{721}}{2}$$ $$x_2 = \frac{23 - \sqrt{721}}{2}$$ Так как числитель и знаменатель должны быть целыми числами, необходимо пересмотреть условие задачи, возможно, в условии ошибка. Если условие корректно, то задача не имеет решения в целых числах. Предположим, что в условии опечатка, и новая дробь больше исходной на \(\frac{1}{6}\). Тогда уравнение будет выглядеть так: $$\frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{12x + 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{6}$$ $$6(12x + 21) = x^2 + x - 6$$ $$72x + 126 = x^2 + x - 6$$ $$x^2 - 71x - 132 = 0$$ $$D = (-71)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 5041 + 528 = 5569$$ $$x_1 = \frac{71 + \sqrt{5569}}{2}$$ $$x_2 = \frac{71 - \sqrt{5569}}{2}$$ И снова корни не являются целыми числами. Допустим, что знаменатель обыкновенной дроби меньше её числителя на 3. Тогда знаменатель равен x-3 и условие приобретает вид: "Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю прибавить 5, то она увеличится на \(\frac{1}{2}\)". Составим уравнение: $$\frac{x+7}{x-3+5} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{x+7}{x+2} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{(x+7)(x-3) - x(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{x^2 +7x -3x -21 -x^2 -2x}{x^2+2x-3x-6} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{2x-21}{x^2-x-6} = \frac{1}{2}$$ $$4x-42 = x^2-x-6$$ $$x^2 -5x+36 = 0$$ $$D = 25-4*36<0$$ И снова решение не имеет смысла. **Ответ:** Задача, вероятно, содержит опечатку и не имеет решения в целых числах при данных условиях.