648. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменате лю - 5, то она увеличится на \frac{1}{2}. Найдите эту дробь.

Обозначим числитель дроби как x, тогда знаменатель будет x + 3. Исходная дробь выглядит как $$ \frac{x}{x+3}$$.

После изменений числитель станет x + 7, а знаменатель (x + 3) - 5 = x - 2. Новая дробь: $$ \frac{x+7}{x-2}$$.

По условию, новая дробь больше исходной на \frac{1}{2}, поэтому можем записать уравнение:

$$ \frac{x+7}{x-2} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2} $$

Решим уравнение:

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(x+7)(x+3) - x(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - x^2 + 2x}{x^2 + 3x - 2x - 6} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{12x + 21}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{2} $$

Умножим обе части уравнения на 2(x^2 + x - 6):

$$ 2(12x + 21) = x^2 + x - 6 $$ $$ 24x + 42 = x^2 + x - 6 $$

Перенесем все в правую часть:

$$ x^2 - 23x - 48 = 0 $$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = (-23)^2 - 4(1)(-48) = 529 + 192 = 721 $$

Так как дискриминант не является полным квадратом, то задача, скорее всего, содержит опечатку.

Предположим, что в условии было сказано, что знаменатель больше числителя на 2. В этом случае знаменатель = x+2.

Тогда исходная дробь: $$ \frac{x}{x+2} $$.

Новая дробь: $$ \frac{x+7}{x-5} $$.

$$ \frac{x+7}{x-5} - \frac{x}{x+2} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{(x+7)(x+2) - x(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 + 2x + 7x + 14 - x^2 + 5x}{x^2 + 2x - 5x - 10} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{14x + 14}{x^2 - 3x - 10} = \frac{1}{2} $$ $$ 28x + 28 = x^2 - 3x - 10 $$ $$ x^2 - 31x - 38 = 0 $$

Предположим, что в условии было сказано, что знаменатель больше числителя на 6. В этом случае знаменатель = x+6.

Тогда исходная дробь: $$ \frac{x}{x+6} $$.

Новая дробь: $$ \frac{x+7}{x-5} $$.

$$ \frac{x+7}{x-5} - \frac{x}{x+6} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{(x+7)(x+6) - x(x-5)}{(x-5)(x+6)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 + 6x + 7x + 42 - x^2 + 5x}{x^2 + 6x - 5x - 30} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{18x + 42}{x^2 + x - 30} = \frac{1}{2} $$ $$ 36x + 84 = x^2 + x - 30 $$ $$ x^2 - 35x - 114 = 0 $$

Предположим, что знаменатель больше числителя на 13.

Тогда исходная дробь: $$ \frac{x}{x+13} $$.

Новая дробь: $$ \frac{x+7}{x-5} $$.

$$ \frac{x+7}{x-5} - \frac{x}{x+13} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{(x+7)(x+13) - x(x-5)}{(x-5)(x+13)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 + 13x + 7x + 91 - x^2 + 5x}{x^2 + 13x - 5x - 65} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{25x + 91}{x^2 + 8x - 65} = \frac{1}{2} $$ $$ 50x + 182 = x^2 + 8x - 65 $$ $$ x^2 - 42x - 247 = 0 $$

Предположим, что знаменатель больше числителя на 3, а увеличивается на 1/3.

Тогда исходная дробь: $$ \frac{x}{x+3} $$.

Новая дробь: $$ \frac{x+7}{x-5} $$.

$$ \frac{x+7}{x-5} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{(x+7)(x+3) - x(x-5)}{(x-5)(x+3)} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - x^2 + 5x}{x^2 + 3x - 5x - 15} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{15x + 21}{x^2 - 2x - 15} = \frac{1}{3} $$ $$ 45x + 63 = x^2 - 2x - 15 $$ $$ x^2 - 47x - 78 = 0 $$

Предположим, что знаменатель меньше числителя на 3.

Тогда исходная дробь: $$ \frac{x}{x-3} $$.

Новая дробь: $$ \frac{x+7}{x-5} $$.

$$ \frac{x+7}{x-5} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{(x+7)(x-3) - x(x-5)}{(x-5)(x-3)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{x^2 -3x + 7x - 21 - x^2 + 5x}{x^2 - 3x - 5x + 15} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{9x - 21}{x^2 - 8x + 15} = \frac{1}{2} $$ $$ 18x - 42 = x^2 - 8x + 15 $$ $$ x^2 - 26x + 57 = 0 $$ $$ D = (-26)^2 - 4*57 = 676 - 228 = 448 $$

По всей видимости, в условии задачи опечатка.

Ответ: Решения нет из-за опечатки в условии.