Зная, что m ∈ Z, найдите целые значения дроби: a) \frac{m^{2}-10m+27}{m-5} б) \frac{(m-6)^{2}}{m-3} в) \frac{(3m-4)^{3}}{m^{3}}

Краткое пояснение:

Чтобы найти целые значения дроби, когда переменная является целым числом, необходимо преобразовать дробь так, чтобы выделить целую часть. Затем, чтобы дробная часть стала целым числом, знаменатель должен делить числитель.

Пошаговое решение:

а) \frac{m^{2}-10m+27}{m-5}

1. Шаг 1: Выделим целую часть дроби. Можно выполнить деление многочленов столбиком или преобразовать числитель:
   \frac{m^{2}-10m+27}{m-5} = \frac{m(m-5)-5m+27}{m-5} = \frac{m(m-5)-5(m-5)-25+27}{m-5} = m-5 + \frac{2}{m-5}
2. Шаг 2: Чтобы дробь \frac{2}{m-5} была целым числом, знаменатель (m-5) должен быть делителем числа 2.
3. Шаг 3: Возможные значения для (m-5): -2, -1, 1, 2.
4. Шаг 4: Найдем соответствующие значения m:
   m-5 = -2 ⇒ m = 3
   m-5 = -1 ⇒ m = 4
   m-5 = 1 ⇒ m = 6
   m-5 = 2 ⇒ m = 7
5. Шаг 5: Подставим найденные значения m в исходную дробь, чтобы получить целые значения: При m=3: 3-5 + \frac{2}{3-5} = -2 + \frac{2}{-2} = -2 - 1 = -3
   При m=4: 4-5 + \frac{2}{4-5} = -1 + \frac{2}{-1} = -1 - 2 = -3
   При m=6: 6-5 + \frac{2}{6-5} = 1 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3
   При m=7: 7-5 + \frac{2}{7-5} = 2 + \frac{2}{2} = 2 + 1 = 3

Ответ а): Целые значения дроби: -3, 3.

б) \frac{(m-6)^{2}}{m-3}

1. Шаг 1: Преобразуем числитель, чтобы выделить (m-3): (m-6)² = ((m-3)-3)² = (m-3)² - 2(m-3) ∕ 3 + 9
2. Шаг 2: Подставим в дробь: \frac{(m-3)² - 2(m-3) ∕ 3 + 9}{m-3} = \frac{(m-3)²}{m-3} - \frac{2(m-3)}{m-3} + \frac{9}{m-3} = (m-3) - 2 + \frac{9}{m-3} = m - 5 + \frac{9}{m-3}
3. Шаг 3: Чтобы дробь \frac{9}{m-3} была целым числом, знаменатель (m-3) должен быть делителем числа 9.
4. Шаг 4: Возможные значения для (m-3): -9, -3, -1, 1, 3, 9.
5. Шаг 5: Найдем соответствующие значения m:
   m-3 = -9 ⇒ m = -6
   m-3 = -3 ⇒ m = 0
   m-3 = -1 ⇒ m = 2
   m-3 = 1 ⇒ m = 4
   m-3 = 3 ⇒ m = 6
   m-3 = 9 ⇒ m = 12
6. Шаг 6: Подставим найденные значения m в выражение m - 5 + \frac{9}{m-3}: При m=-6: -6 - 5 + \frac{9}{-6-3} = -11 + \frac{9}{-9} = -11 - 1 = -12
   При m=0: 0 - 5 + \frac{9}{0-3} = -5 + \frac{9}{-3} = -5 - 3 = -8
   При m=2: 2 - 5 + \frac{9}{2-3} = -3 + \frac{9}{-1} = -3 - 9 = -12
   При m=4: 4 - 5 + \frac{9}{4-3} = -1 + \frac{9}{1} = -1 + 9 = 8
   При m=6: 6 - 5 + \frac{9}{6-3} = 1 + \frac{9}{3} = 1 + 3 = 4
   При m=12: 12 - 5 + \frac{9}{12-3} = 7 + \frac{9}{9} = 7 + 1 = 8

Ответ б): Целые значения дроби: -12, -8, 8, 4.

в) \frac{(3m-4)^{3}}{m^{3}}

1. Шаг 1: Запишем дробь как куб разности: \left( \frac{3m-4}{m} \right)^{3}
2. Шаг 2: Преобразуем выражение внутри скобок: \frac{3m-4}{m} = \frac{3m}{m} - \frac{4}{m} = 3 - \frac{4}{m}
3. Шаг 3: Теперь дробь выглядит так: \left(3 - \frac{4}{m} \right)^{3}. Чтобы вся дробь была целым числом, выражение внутри скобок \left(3 - \frac{4}{m} \right) должно быть таким, чтобы его куб был целым числом.
4. Шаг 4: Для того чтобы \frac{4}{m} было целым числом (и, следовательно, чтобы \left(3 - \frac{4}{m} \right) было целым числом), знаменатель m должен быть делителем числа 4.
5. Шаг 5: Возможные значения для m: -4, -2, -1, 1, 2, 4.
6. Шаг 6: Найдем соответствующие значения \left(3 - \frac{4}{m} \right) и их кубы: При m=-4: 3 - \frac{4}{-4} = 3 - (-1) = 4. Куб: 4³ = 64.
   При m=-2: 3 - \frac{4}{-2} = 3 - (-2) = 5. Куб: 5³ = 125.
   При m=-1: 3 - \frac{4}{-1} = 3 - (-4) = 7. Куб: 7³ = 343.
   При m=1: 3 - \frac{4}{1} = 3 - 4 = -1. Куб: (-1)³ = -1.
   При m=2: 3 - \frac{4}{2} = 3 - 2 = 1. Куб: 1³ = 1.
   При m=4: 3 - \frac{4}{4} = 3 - 1 = 2. Куб: 2³ = 8.

Ответ в): Целые значения дроби: 64, 125, 343, -1, 1, 8.