Знайдіть sin 2α, якщо sin α = -40/41, α ∈ (π; 3π/2).

Рішення:

Щоб знайти \( \sin 2\alpha \), нам потрібно знати \( \sin \alpha \) і \( \cos \alpha \). Ми вже знаємо \( \sin \alpha = -\frac{40}{41} \).

1. Знайдемо \( \cos \alpha \) за допомогою основної тригонометричної тотожності: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Підставимо відоме значення \( \sin \alpha \): \( \left(-\frac{40}{41}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
3. \( \frac{1600}{1681} + \cos^2 \alpha = 1 \)
4. \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681} \)
5. \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{81}{1681}} = \pm \frac{9}{41} \)
6. Оскільки \( \alpha \) належить інтервалу \( (\pi; \frac{3\pi}{2}) \), кут \( \alpha \) знаходиться у третьому квадранті. У третьому квадранті косинус від'ємний.
7. Отже, \( \cos \alpha = -\frac{9}{41} \).
8. Тепер знайдемо \( \sin 2\alpha \) за формулою подвійного кута: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
9. Підставимо значення \( \sin \alpha \) і \( \cos \alpha \): \( \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) \)
10. \( \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{360}{1681} = \frac{720}{1681} \)

Відповідь: \( \frac{720}{1681} \).