1. Знайдіть скалярний добуток векторів \(\vec{d}\) і \(\vec{k}\), якщо \(\vec{d} (1; -3; 8), \vec{k} (4; -2; -6)\). 2. Знайдіть скалярний добуток векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\), якщо |\(\vec{a}\)| = 8, |\(\vec{b}\)| = 7, \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\). 3. Знайдіть косинус кута між векторами \(\vec{a} (5; -1; -2)\) і \(\vec{b} (2; 6; -3)\).

1. Знайдемо скалярний добуток векторів \(\vec{d}\) і \(\vec{k}\).

Пошагове решение:

• \(\vec{d} \cdot \vec{k} = (1 \cdot 4) + (-3 \cdot -2) + (8 \cdot -6) = 4 + 6 - 48 = -38\)

Ответ: -38

2. Знайдемо скалярний добуток векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\).

Пошагове решение:

• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = 8 \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)\)
• \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 28\sqrt{2}\)

Ответ: \(28\sqrt{2}\)

3. Знайдемо косинус кута між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\).

Пошагове решение:

• Скалярний добуток векторів:
• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (5 \cdot 2) + (-1 \cdot 6) + (-2 \cdot -3) = 10 - 6 + 6 = 10\)
• Довжини векторів:
• \(|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}\)
• \(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7\)
• Косинус кута:
• \(\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{30} \cdot 7} = \frac{10}{7\sqrt{30}} = \frac{10\sqrt{30}}{7 \cdot 30} = \frac{\sqrt{30}}{21}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{30}}{21}\)