З0 Найти - ln B-?

Для решения задачи необходимо понимать, что изображен прямоугольный треугольник, где угол A равен 30 градусам, угол C прямой (90 градусов). Требуется найти длину стороны B, но в контексте задачи подразумевается, что нужно найти значение натурального логарифма от длины стороны B (ln B), при условии, что известна длина стороны AC (a) = 5.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, если обозначить гипотенузу как AB, то катет BC = 1/2 * AB.
2. Также известно, что катет, прилежащий к углу в 30 градусов (AC), равен 5.
3. Можно использовать тангенс угла A (30 градусов) для нахождения длины катета BC: $$tg(30°) = \frac{BC}{AC}$$
4. Известно, что $$tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, следовательно, $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{5}$$.
5. Отсюда находим BC: $$BC = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$
6. Теперь, когда известна сторона BC, мы можем найти гипотенузу AB, используя синус угла A: $$sin(30°) = \frac{BC}{AB}$$
7. Известно, что $$sin(30°) = \frac{1}{2}$$, следовательно, $$\frac{1}{2} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{AB}$$
8. Отсюда находим AB: $$AB = 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$
9. По теореме Пифагора $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ проверим наши вычисления.
   • $$5^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2 = 25 + \frac{25 \cdot 3}{9} = 25 + \frac{25}{3} = \frac{75 + 25}{3} = \frac{100}{3}$$
   • $$(\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{100 \cdot 3}{9} = \frac{100}{3}$$
10. Теперь нам нужно найти ln B, где B это гипотенуза AB.
11. $$ln(AB) = ln(\frac{10\sqrt{3}}{3}) = ln(10) + ln(\sqrt{3}) - ln(3) = ln(10) + \frac{1}{2}ln(3) - ln(3) = ln(10) - \frac{1}{2}ln(3)$$
12. Приближенное значение: $$ln(10) \approx 2.3026$$ и $$ln(3) \approx 1.0986$$, тогда $$ln(AB) \approx 2.3026 - \frac{1}{2} \cdot 1.0986 = 2.3026 - 0.5493 = 1.7533$$
13. Обозначим длину гипотенузы AB за b. Таким образом, нужно найти ln(b).
14. $$ln(b) = ln(\frac{10\sqrt{3}}{3}) \approx 1.7533$$

Ответ: $$ln(b) = ln(\frac{10\sqrt{3}}{3}) \approx 1.7533$$