ЗПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 800 Два автомобиля одновременно отправляются в 714-километровый пробег. Первый автомобиль едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение.

Решение:

Обозначим:

• $$v_1$$ — скорость первого автомобиля (км/ч)
• $$v_2$$ — скорость второго автомобиля (км/ч)
• $$t_1$$ — время в пути первого автомобиля (ч)
• $$t_2$$ — время в пути второго автомобиля (ч)

Из условия задачи известно:

• $$v_1 = v_2 + 16$$
• $$t_2 = t_1 + 2$$
• Расстояние $$S = 714$$ км

Используем формулу расстояния: $$S = v  t$$.

Для первого автомобиля: $$714 = v_1  t_1$$

Для второго автомобиля: $$714 = v_2  t_2$$

Подставим известные соотношения:

• Из $$714 = v_1  t_1$$, выразим $$t_1$$: $$t_1 = \frac{714}{v_1}$$
• Из $$714 = v_2  t_2$$, выразим $$t_2$$: $$t_2 = \frac{714}{v_2}$$

Теперь подставим $$v_2 = v_1 - 16$$ и $$t_2 = t_1 + 2$$ в уравнение для второго автомобиля:

\[ \frac{714}{v_1 - 16} = \frac{714}{v_1} + 2 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{714}{v_1 - 16} - \frac{714}{v_1} = 2 \]

\[ \frac{714v_1 - 714(v_1 - 16)}{v_1(v_1 - 16)} = 2 \]

\[ \frac{714v_1 - 714v_1 + 714  16}{v_1^2 - 16v_1} = 2 \]

\[ \frac{11424}{v_1^2 - 16v_1} = 2 \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 11424 = 2(v_1^2 - 16v_1) \]

\[ 5712 = v_1^2 - 16v_1 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_1^2 - 16v_1 - 5712 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = (-16)^2 - 4(1)(-5712) \]

\[ D = 256 + 22848 \]

\[ D = 23104 \]

\[ \sqrt{D} = 152 \]

Найдем корни:

\[ v_{1,2} = \frac{-b  \sqrt{D}}{2a} \]

\[ v_1 = \frac{16 + 152}{2} = \frac{168}{2} = 84 \]

\[ v_2 = \frac{16 - 152}{2} = \frac{-136}{2} = -68 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v_1 = 84$$ км/ч.

Проверим:

• $$v_1 = 84$$ км/ч
• $$v_2 = 84 - 16 = 68$$ км/ч
• $$t_1 = \frac{714}{84} = 8.5$$ ч
• $$t_2 = \frac{714}{68} = 10.5$$ ч
• $$t_2 - t_1 = 10.5 - 8.5 = 2$$ ч (разница во времени совпадает)

Ответ: 84 км/ч