Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Проверочная работа (страница 95)
Проверочная работа (Страница 95)
\[\mathbf{Проверочная\ работа\ (стр.95)}\]
\[\boxed{\mathbf{1}.}\]
\[123\ 456\ 781 \equiv 1(mod\ 9).\]
\[Число\ кратно\ 9,\ если\ сумма\ \]
\[его\ цифр\ кратна\ 9:\]
\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +\]
\[+ 8 = 36.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{2}.}\]
\[10 \cdot 5^{15} \equiv 10 \cdot 1^{15} \equiv 2(mod\ 4).\]
\[5 \equiv 1(mod\ 4).\]
\[\boxed{\mathbf{3}.}\]
\[a = 2^{85} + 3^{73}\]
\[85 \equiv 1(mod\ 4);\]
\[2^{5} = 32 \Longrightarrow последняя\ цифра\ 2.\]
\[73 \equiv 1(mod\ 4);\]
\[3^{5} = 243 \Longrightarrow последняя\ \]
\[цифра\ 3.\]
\[В\ выражении\ последняя\ \]
\[цифра:\]
\[2 + 3 = 5.\]
\[Ответ:5.\]
\[\boxed{\mathbf{4}.}\]
\[a = \underset{сумма\ цифр = 35}{\overset{8\ 675\ 423}{︸}} - \underset{сумма\ цифр = 35}{\overset{5\ 723\ 469}{︸}}\]
\[Тогда:\]
\[8\ 675\ 423 \equiv 3(mod\ 3);\]
\[5\ 723\ 468 \equiv 3(mod\ 3);\]
\[Следовательно:\]
\[3 - 3 = 0 \Longrightarrow a \vdots 3.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{5}.}\]
\[a = 123\ 456\ 780;\]
\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +\]
\[+ 8 + 0 = 36\ \vdots 3;\]
\[80\ \vdots 4.\]
\[Следовательно:\]
\[a\ \vdots 12.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{6}.}\]
\[n^{3} + 35n = n\left( n^{2} + 35 \right)\]
\[1)\ Пусть\ n = 2k:\]
\[2k\left( 4k^{2} + 35 \right) \Longrightarrow n \vdots 2.\]
\[Пусть\ n = 2k + 1:\]
\[(2k + 1)\left( (2k + 1)^{2} + 35 \right) =\]
\[= (2k + 1)\underset{\vdots 2}{\overset{\left( 4k^{2} + 4k + 36 \right)}{︸}}\ \vdots 2.\]
\[2)\ Пусть\ n - кратно\ 3;n = 3k:\]
\[n^{3} + 35n\ \vdots 3.\]
\[Пусть\ n\ не\ кратно\ 3;тогда\ \]
\[n = 3k + 1;n = 3k + 2.\]
\[n = 3k + 1:\]
\[(3k + 1)\left( (3k + 1)^{2} + 35 \right) =\]
\[= (3k + 1)\underset{\vdots 3}{\overset{\left( 9k^{2} + 6k + 36 \right)}{︸}}\ \vdots 3.\]
\[n = 3k + 2:\]
\[(3k + 2)\left( (3k + 2)^{2} + 35 \right) =\]
\[= (3k + 2)\underset{\vdots 3}{\overset{\left( 9k^{2} + 12k + 39 \right)\ }{︸}} \vdots 3.\]
\[Получаем:\]
\[n^{3} + 35n\ \ \vdots 6.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
