Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 1262
Задание 1262
\[\boxed{\mathbf{1262}\mathbf{.}}\]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3} \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Почленно\ сложим\ первое\ и\]
\[\ второе\ уравнение:\]
\[\frac{\sin x}{\sin y} + \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{5}{3} + \frac{1}{3}\]
\[\frac{\sin x \bullet \cos y + \sin y \bullet \cos x}{\sin y \bullet \cos y} = \frac{6}{3}\]
\[\frac{\sin(x + y)}{\frac{1}{2}\sin{2y}} = 2\ \ \ \ \ | \bullet \frac{1}{2}\]
\[\frac{\sin(x + y)}{\sin{2y}} = 1\]
\[\sin(x + y) = \sin{2y}\]
\[\sin(x + y) - \sin{2y} = 0\]
\[2 \bullet \sin\frac{x + y - 2y}{2} \bullet\]
\[\bullet \cos\frac{x + y + 2y}{2} = 0\]
\[\sin\frac{x - y}{2} \bullet \cos\frac{x + 3y}{2} = 0.\]
\[Первое\ уравнение:\]
\[\sin\frac{x - y}{2} = 0\]
\[\frac{x - y}{2} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n\]
\[x - y = 2\pi n\]
\[x = y + 2\pi n.\]
\[Второе\ уравнение:\]
\[\cos\frac{x + 3y}{2} = 0\]
\[\frac{x + 3y}{2} = \arccos 0 +\]
\[+ \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n\]
\[x + 3y = \pi + 2\pi n\]
\[x = \pi + 2\pi n - 3y.\]
\[Подставим\ найденные\]
\[\ значения\ в\ первое\ уравнение:\]
\[\frac{\sin(y + 2\pi n)}{\sin y} = \frac{\sin y}{\sin y} =\]
\[= 1 \neq \frac{5}{3} - не\ подходит.\]
\[\frac{\sin(\pi + 2\pi n - 3y)}{\sin y} = \frac{5}{3}\]
\[\frac{\sin{(\pi - 3y)}}{\sin y} = \frac{5}{3}\]
\[\frac{\sin{3y}}{\sin y} = \frac{5}{3}.\]
\[Воспользуемся\ формулой\ \]
\[тройного\ угла:\]
\[\frac{3\sin y - 4\sin^{3}y}{\sin y} = \frac{5}{3}\]
\[3 - 4\sin^{2}y = \frac{5}{3}\]
\[4\sin^{2}y = 3 - \frac{5}{3}\]
\[4\sin^{2}y = \frac{4}{3}\]
\[\sin^{2}y = \frac{1}{3}\]
\[\sin y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[y_{1} = ( - 1)^{n + 1} \bullet \arcsin\frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k;\]
\[y_{2} = ( - 1)^{n} \bullet \arcsin\frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k;\]
\[y = \pm \arcsin\frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k.\]
\[Значение\ переменной\ x:\]
\[x = \pi \pm 3\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}} + \pi(2n - k).\]
\[Ответ:\ \ x = \pi \pm 3\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}} +\]
\[+ \pi(2n - k);\ \ \]
\[y = \pm \arcsin\frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sin x \bullet \cos y = \frac{1}{2}\text{\ \ \ \ } \\ \cos x \bullet \sin y = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Почленно\ сложим\ первое\ и\]
\[\ второе\ уравнение:\]
\[\sin x \bullet \cos y + \cos x \bullet \sin y =\]
\[= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\]
\[\sin(x + y) = 0\]
\[x + y = \arcsin 0 + \pi n = \pi n\]
\[x = \pi n - y.\]
\[Почленно\ вычтем\ из\ первого\ \]
\[уравнения\ второе:\]
\[\sin x \bullet \cos y - \cos x \bullet \sin y =\]
\[= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\]
\[\sin(x - y) = 1\]
\[x - y = \arcsin 1 + 2\pi k =\]
\[= \frac{\pi}{2} + 2\pi k\]
\[x = y + \frac{\pi}{2} + \pi k.\]
\[Получим\ уравнение:\]
\[\pi n - y = y + \frac{\pi}{2} + 2\pi k\]
\[- 2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k - \pi n\]
\[y = - \frac{\pi}{4} - \pi k + \frac{\text{πn}}{2}.\]
\[Значение\ переменной\ x:\]
\[x = \pi n - y = \pi n + \frac{\pi}{4} + \pi k -\]
\[- \frac{\text{πn}}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\text{πn}}{2}.\]
\[Ответ:\ \ x = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\text{πn}}{2};\]
\[\ \ y = - \frac{\pi}{4} - \pi k + \frac{\text{πn}}{2}.\]
