ГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 250

\[\boxed{\mathbf{250}.}\]

\[a;b;c \in N;\ \ a;b;c\ не\ кратны\ 3.\]

\[Так\ как\ a;b;c\ не\ кратны\ трем,\]

\[\ то\ может\ быть\ в\ остатке\ \]

\[1\ или\ 2.\]

\[1)\ Пусть\ a = 3a_{1} + 1;\ \ \]

\[b = 3b_{1} + 1;\ \ c = 3c_{1} + 1:\]

\[\left( 3a_{1} + 1 \right)^{2} + \left( 3b_{1} + 1 \right)^{2} +\]

\[+ \left( 3c_{1} + 1 \right)^{2} =\]

\[= 9a_{1}^{2} + 6a_{1} + 1 + 9b_{1}^{2} + 6b_{1} +\]

\[+ 1 + 9c_{1}^{2} + 6c_{1} + 1 =\]

\[= 9a_{1}^{2} + 6a_{1} + 9b_{1}^{2} + 6b_{1} +\]

\[+ 9c_{1}^{2} + 6c_{1} + 3 \rightarrow кратно\ 3.\]

\[2)\ Пусть\ a = 3a_{1} + 1;\]

\[b = 3b_{1} + 1;c = 3a_{1} + 2:\]

\[\left( 3a_{1} + 1 \right)^{2} + \left( 3b_{1} + 1 \right)^{2} +\]

\[+ \left( 3c_{1} + 2 \right)^{2} =\]

\[= 9a_{1}^{2} + 6a_{1} + 1 + 9b_{1}^{2} + 6b_{1} +\]

\[+ 1 + 9c_{1}^{2} + 12c_{1} + 4 =\]

\[= 9a_{1}^{2} + 6a_{1} + 9b_{1}^{2} + 6b_{1} +\]

\[+ 9c_{1}^{2} + 12c_{1} + 6 \rightarrow кратно\ 3.\]

\[Аналогично\ получаем\ при\]

\[\ b = 3b_{1} + 2\ или\ a = 3a_{1} + 2.\]

\[3)\ Пусть\ a = 3a_{1} + 2;\ \ \]

\[b = 3b_{1} + 2;\ \ c = 3c_{1} + 2:\]

\[\left( 3a_{1} + 2 \right)^{2} + \left( 3b_{1} + 2 \right)^{2} +\]

\[+ \left( 3n_{1} + 2 \right)^{2} =\]

\[= 9 \cdot \left( a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2} \right) +\]

\[+ 12 \cdot \left( a_{1} + b_{1} + c_{1} \right) +\]

\[+ 12\ \rightarrow кратно\ 3.\]

\[4)\ Пусть\ a = 3a_{1} + 1;\]

\[\ \ b = 3b_{1} + 2;\ \ c = 3c_{1} + 2:\]

\[\left( 3a_{1} + 1 \right)^{2} + \left( 3b_{1} + 2 \right)^{2} +\]

\[+ \left( 3n_{1} + 2 \right)^{2} =\]

\[= 9 \cdot \left( a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2} \right) +\]

\[+ 6 \cdot \left( a_{1} + 2b_{1} + {2c}_{1} \right) +\]

\[+ 9 \rightarrow кратно\ 3.\]

\[Аналогично\ для\ b = 3b_{1} + 1\ \]

\[или\ для\ c = 3c_{1} + 1.\]

\[Получаем:\]

\[a^{2} + b^{2} + c^{2}\ \vdots 3.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]