ГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 430

Авторы:
Тип:учебник

Задание 430

\[\boxed{\mathbf{430}.}\]

\[\mathbf{Рисунок\ по\ условию\ задачи:}\]

\[Рассмотрим\ две\ соседние\ \]

\[окружности\ с\ центрами\ в\]

\[\ точках\ O_{n}\ и\ O_{n + 1}:\]

\[1)\ Радиусы\ окружностей\ \]

\[равны\ R_{n}\ и\ R_{n + 1}.\]

\[2)\ Пусть\ точка\ A - вершина\]

\[\ угла,\ и\ окружности\ касаются\]

\[\ одну\ из\ его\ \]

\[сторон\ в\ точках\ A_{n}\ и\ A_{n + 1}:\]

\[O_{n}A_{n} = R_{n}\text{\ \ }и\ \ O_{n + 1}A_{n + 1} = R_{n + 1}.\]

\[3)\ Опустим\ перпендикуляр\ \]

\[O_{n + 1}B\ на\ отрезок\ O_{n}A_{n}:\]

\[O_{n}B = O_{n}A_{n} - A_{n}B = O_{n}A_{n} -\]

\[- A_{n + 1}O_{n + 1} = R_{n} - R_{n + 1}.\]

\[4)\ Радиусы\ вписанных\ \]

\[окружностей\ лежат\ на\ \]

\[биссектрисе\ угла:\]

\[\angle O_{n}O_{n + 1}B = \angle O_{n}AA_{n} = 30{^\circ}.\]

\[5)\ Рассмотрим\ \]

\[прямоугольный\ треугольник\]

\[\ O_{n}O_{n + 1}B:\]

\[O_{n}B = \frac{1}{2}O_{n}O_{n + 1} =\]

\[= \frac{1}{2}\left( R_{n} + R_{n + 1} \right) =\]

\[= \frac{1}{2}R_{n} + \frac{1}{2}R_{n + 1};\]

\[R_{n} - R_{n + 1} = \frac{1}{2}R_{n} + \frac{1}{2}R_{n + 1}\text{\ \ }\]

\[\frac{1}{2}R_{n} = \frac{3}{2}R_{n + 1}\ \]

\[R_{n} = 3R_{n + 1};\]

\[q = \frac{R_{n + 1}}{R_{n}} = \frac{R_{n + 1}}{3R_{n + 1}} = \frac{1}{3}.\]

\[|q| < 1 \rightarrow последовательность\ \]

\[радиусов\ окружностей\]

\[составляет\ бесконечно\ \]

\[убывающую\ геометрическую\]

\[\ прогрессию.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[Радиус\ n\text{-}ой\ окружности:\]

\[R_{n} = R_{1} \bullet q^{n - 1} = R_{1} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} =\]

\[= R_{1} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{n} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{- 1} = \frac{3R_{1}}{3^{n}}.\]

\[Расстояние\ от\ центра\ первой\]

\[\ окружности\ до\ вершины\ угла.\]

\[1)\ Сумма\ радиусов\ всех\ \]

\[окружностей,\ кроме\ первой:\]

\[S = \frac{R_{1}}{1 - q} - R_{1} = \frac{R_{1}}{1 - \frac{1}{3}} - R_{1} =\]

\[= R_{1}\ :\frac{2}{3} - R_{1} = \frac{3}{2}R_{1} - R_{1} =\]

\[= \frac{1}{2}R_{1}.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \]

\[прямоугольный\ треугольник\]

\[\ AO_{1}A_{1}:\]

\[\angle O_{1}AA_{1} = 30{^\circ};\]

\[O_{1}A_{1} = \frac{1}{2}O_{1}\text{A\ \ \ }\]

\[\ O_{1}A = 2O_{1}A_{1} = 2R_{1}\]

\[O_{1}A = R_{1} + R_{1} = R_{1} + 2 \bullet \frac{1}{2}R_{1} =\]

\[= R_{1} + 2S = R_{1} +\]

\[+ 2\left( R_{2} + R_{3} + \ldots + R_{n} + \ldots \right).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[Ответ:\ \ R_{n} = \frac{3R_{1}}{3^{n}}.\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам