ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Параграф 13. Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств Задание 36

\[\boxed{\mathbf{36.}}\]

\[\textbf{а)}\ 2\sin^{8}{2x} - 5\cos^{7}{4x} = 7\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{2x} = 1\ \ \ \\ \cos{4x} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\sin{2x} = 1\]

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[\cos{4x} = \cos{4 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi k \right)} =\]

\[= \cos(\pi + 4\pi k) = \cos\pi = - 1.\]

\[Решение\ первой\ системы:\]

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{2x} = - 1 \\ \cos{4x} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\sin{2x} = - 1\]

\[x = - \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[\cos{4x} = \cos{4\left( - \frac{\pi}{4} + \pi k \right)} =\]

\[= \cos( - \pi + 4\pi k) = - 1.\]

\[Решение\ второй\ системы:\]

\[x = - \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[Решение\ уравнения:\]

\[x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k\]

\[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\text{πk}}{2}.\]

\[Ответ:\ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\text{πk}}{2}.\]

\[\textbf{б)}\ 5\sin^{7}{3x} + 2\cos^{4}{2x} = 7\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{3x} = 1\ \\ \cos{2x} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\cos{2x} = 1\]

\[x = \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[\sin{3x} = \sin{3\pi k} = 0 \neq 1.\]

\[Решение\ первой\ системы:\]

\[нет\ решений.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{3x} = 1\ \ \ \ \\ \cos{2x} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\cos{2x} = - 1\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[Решение\ второй\ системы:\]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m.\]

\[Решение\ уравнения:\]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m.\]

\[Ответ:\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m.\]

\[\textbf{в)}\ 3\sin^{3}{2x} - 7\cos^{4}{4x} = - 10\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{2x} = - 1 \\ \cos{4x} = 1\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\sin{2x} = - 1\]

\[x = - \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[\cos{4x} = \cos{4 \cdot \left( - \frac{\pi}{4} + \pi k \right)} =\]

\[= \cos( - \pi) = 1.\]

\[Решение\ первой\ системы:\]

\[x = - \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{2x} = - 1 \\ \cos{4x} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Решение\ второй\ системы:\]

\[нет\ решений.\]

\[Решение\ уравнения:\]

\[x = - \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[Ответ:\ x = - \frac{\pi}{4} + \pi k.\]

\[\textbf{г)}\ 7\sin^{4}{3x} + 4\cos^{8}{2x} = 11\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{3x} = 1\ \\ \cos{2x} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\cos{2x} = 1\]

\[x = \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[\sin{3x} = \sin{3\pi k} = 0 \neq 1.\]

\[Решение\ первой\ системы:\]

\[нет\ решений.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{3x} = - 1 \\ \cos{2x} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\cos{2x} = - 1\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[Решение\ второй\ системы:\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]

\[3)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{3x} = - 1 \\ \cos{2x} = 1\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\cos{2x} = 1\]

\[x = \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[\sin{3x} = \sin{( - 3\pi k}) = 0 \neq - 1.\]

\[Решение\ третьей\ системы:\]

\[нет\ решений.\]

\[4)\ \left\{ \begin{matrix} \sin{3x} = 1\ \ \ \ \\ \cos{2x} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\cos{2x} = - 1\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]

\[Проверим:\]

\[Решение\ четвертой\ системы:\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]

\[Решение\ уравнения:\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]

\[Ответ:\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]