Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 41
Задание 41
\[\boxed{\mathbf{41}\mathbf{.}}\]
\[\textbf{а)}\ f(x) = \frac{x^{2} - 5x + 4}{x - 1};\ \ \ x_{0} = 1\]
\[x^{2} - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)\]
\[x_{1} + x_{2} = 5;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 4\]
\[x_{1} = 1;\ \ x_{2} = 4.\]
\[x = 1 - единственная\ точка\ \]
\[разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]
\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ \]
\[не\ определена.\]
\[При\ x \rightarrow x_{0} = 1:\]
\[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2} - 5x + 4}{x - 1} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x - 4)(x - 1)}{x - 1} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow 1}(x - 4) = 1 - 4 = - 3.\]
\[f(1) = - 3;\]
\[\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)} = f(1);\]
\[значит,\ в\ этой\ точке\ будет\]
\[\ выполняться\ условие\ \]
\[непрерывности.\]
\[Функцию\ можно\ доопределить\]
\[\ таким\ образом,\ чтобы\]
\[\ новая\ функция\]
\[стала\ непрерывной,\ установив\]
\[\text{\ f}(1) = - 3.\]
\[\textbf{б)}\ y = \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} =\]
\[= x - 2;\ \ \ x_{0} = - 2;\ \]
\[x = - 2 - единственная\ точка\]
\[\ разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]
\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ не\]
\[\ определена.\]
\[При\ x \rightarrow x_{0} = - 2:\]
\[\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \lim_{x \rightarrow - 2}(x - 2) =\]
\[= - 2 - 2 = - 4.\]
\[f( - 2) = - 4;\]
\[\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)} = f( - 2);\]
\[значит,\ в\ этой\ точке\ будет\ \]
\[выполняться\ условие\ \]
\[непрерывности.\]
\[Функцию\ можно\ доопределить\]
\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]
\[функция\]
\[стала\ непрерывной,\ установив\ \]
\[f( - 2) = - 4.\]
\[\textbf{в)}\ f(x) = \frac{12 - x}{x} = \frac{12}{x} - \frac{x}{x} =\]
\[= \frac{12}{x} - 1;\ \ x_{0} = 0\]
\[x = 0 - единственная\ точка\ \]
\[разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]
\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ не\]
\[\ определена.\]
\[При\ x \rightarrow x_{0} = 0:\]
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{12 - x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0}\left( \frac{12}{x} - 1 \right) = \infty.\]
\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\]
\[\ значением\ ни\ была\ бы\]
\[\ доопределена\ \]
\[функция\ f(x)\ в\ точке\ x_{0} = 0,\ \]
\[равенство\ \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f(0)\]
\[выполняться\ не\ будет.\]
\[Функцию\ нельзя\ доопределить\]
\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\]
\[\ функция\]
\[стала\ непрерывной.\]
\[\textbf{г)}\ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 2};\ \ \ x_{0} = 2.\]
\[x = 2 - единственная\ точка\ \]
\[разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]
\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ не\]
\[\ определена.\]
\[При\ x \rightarrow x_{0} = 2:\]
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^{2} - 1}{x - 2} = \infty.\]
\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\ \]
\[значением\ ни\ была\ бы\]
\[\ доопределена\ \]
\[функция\ f(x)\ в\ точке\ x_{0} = 2,\]
\[\ равенство\ \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f(2)\]
\[выполняться\ не\ будет.\]
\[Функцию\ нельзя\ доопределить\ \]
\[таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]
\[функция\]
\[стала\ непрерывной.\]
\[\textbf{д)}\ f(x) = \cos xtg\ x;\ \ x_{k} = \frac{\pi}{2} + \pi k;\]
\[\ \ k \in Z\]
\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}{\cos x\text{tg\ x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}{\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}{\sin x} = \sin\left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) =\]
\[= \left\{ \begin{matrix} 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ - 1;\ \ x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Функцию\ можно\ доопределить\ \]
\[таким\ образом,\ чтобы\ новая\]
\[\ функция\]
\[стала\ непрерывной.\]
\[\textbf{е)}\ f(x) = \sin xctg\ x;\ \ \]
\[x_{k} = \pi k;\ k \in Z;\ \]
\[\lim_{x \rightarrow \pi k}{\sin x\text{ctg\ x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow \pi k}{\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow \pi k}{\cos x} = \cos\text{πk} =\]
\[= \left\{ \begin{matrix} 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 2\pi k \\ - 1;\ \ x = \pi + 2\pi k \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Функцию\ можно\ доопределить\ \]
\[таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]
\[функция\]
\[стала\ непрерывной.\]
\[\textbf{ж)}\ f(x) = tg\ (x);\ \ x_{k} = \frac{\pi}{2} + \pi k;\]
\[\ \ k \in Z\]
\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}\text{tg\ x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}\frac{\sin x}{\cos x} = \infty.\]
\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\ \]
\[значением\ ни\ была\ бы\]
\[\ доопределена\ \]
\[функция\ f(x)\ в\ точках\ \]
\[x_{k} = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ равенство\ \]
\[\lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f\left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)\]
\[выполняться\ не\ будет.\]
\[Функцию\ нельзя\ доопределить\]
\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\]
\[\ функция\]
\[стала\ непрерывной.\]
\[\textbf{з)}\ f(x) = ctg\ x;\ \ x_{k} = \pi k;\ k \in Z;\ \]
\[\lim_{x \rightarrow \pi k}\text{ctg\ x} = \lim_{x \rightarrow \pi k}\frac{\cos x}{\sin x} = \infty.\]
\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\ \]
\[значением\ ни\ была\ бы\]
\[\ доопределена\ \]
\[функция\ f(x)\ в\ точках\ x_{k} = \pi k,\]
\[\ равенство\ \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f\left( \text{πk} \right)\]
\[выполняться\ не\ будет.\]
\[Функцию\ нельзя\ доопределить\]
\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]
\[функция\]
\[стала\ непрерывной.\]