ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 60

\[\boxed{\mathbf{60.}}\]

\[\textbf{а)}\ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 5};\ \ \]

\[f^{'}(x) = \frac{x^{'}\left( x^{2} + 5 \right) - x\left( x^{2} + 5 \right)^{'}}{\left( x^{2} + 5 \right)^{2}} =\]

\[= \frac{x^{2} + 5 - x \cdot 2x}{\left( x^{2} + 5 \right)^{2}} = \frac{- x^{2} + 5}{\left( x^{2} + 5 \right)^{2}};\]

\[f^{'}(x) = 0\]

\[- x^{2} + 5 = 0\]

\[x^{2} = 5\]

\[x = \pm \sqrt{5}.\]

\[f^{'}(x) > 0:\]

\[- \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]

\[f^{'}(x) < 0:\]

\[x \leq - \sqrt{5};\ \ x \geq \sqrt{5}.\]

\[Функция\ убывает:\]

\[x \leq - \sqrt{5};\ \ x \geq \sqrt{5}.\]

\[Функция\ возрастает:\]

\[- \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]

\[Экстремумы\ функции.\]

\[x = - \sqrt{5}:\]

\[y_{\min} = \frac{- \sqrt{5}}{\left( - \sqrt{5} \right)^{2} + 5} = \frac{- \sqrt{5}}{5 + 5} =\]

\[= - \frac{\sqrt{5}}{10}.\]

\[x = \sqrt{5}:\]

\[y_{\max} = \frac{\sqrt{5}}{\left( \sqrt{5} \right)^{2} + 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}\text{.\ }\]

\[\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x}{x^{2} + 5} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x^{2} + 5}{x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{5}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{1 + \frac{5}{x}} =\]

\[= \frac{1}{+ \infty} = 0;\]

\[значит,\ в\ точке\ x = \sqrt{5}\ функция\]

\[\ достигает\ наивысшего\ \]

\[значения,\]

\[так\ как\ y_{\max} = \frac{\sqrt{5}}{10} > 0.\]

\[\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x}{x^{2} + 5} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x^{2} + 5}{x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{5}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{1 + \frac{5}{x}} =\]

\[= \frac{1}{- \infty} = 0;\]

\[значит,\ в\ точке\ x = - \sqrt{5}\ \]

\[функция\ достигает\ \]

\[наименьшего\ значения,\]

\[так\ как\ y_{\min} = - \frac{\sqrt{5}}{10} < 0.\]

\[Точки\ локального\ экстремума:\]

\[x = - \sqrt{5};\ \ x = \sqrt{5}.\]

\[Функция\ достигает\ \]

\[наибольшего\ (наименьшего)\ \]

\[значения\ в\ точках\]

\[локального\ экстремума.\]

\[\textbf{б)}\ f(x) = \frac{- 4x}{x^{2} + 1};\]

\[f^{'}(x) = \frac{( - 4x)^{'}\left( x^{2} + 1 \right) + 4x\left( x^{2} + 1 \right)^{'}}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}} =\]

\[= \frac{- 4\left( x^{2} + 1 \right) + 4x \cdot 2x}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}} =\]

\[= \frac{- 4x^{2} - 4 + 8x^{2}}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}} = \frac{4x^{2} - 4}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}};\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[4x^{2} - 4 = 0\]

\[4x^{2} = 4\]

\[x^{2} = 1\]

\[x = \pm 1.\]

\[f^{'}(x) > 0:\]

\[x \leq - 1;\ \ x \geq 1.\]

\[f^{'}(x) < 0:\]

\[- 1 \leq x \leq 1.\]

\[Функция\ убывает:\]

\[- 1 \leq x \leq 1.\]

\[Функция\ возрастает:\]

\[x \leq - 1;x \geq 1.\]

\[Экстремумы\ функции.\]

\[x = 1:\]

\[y_{\min} = \frac{- 4 \cdot 1}{1^{2} + 1} = - 2.\]

\[x = - 1:\]

\[y_{\max} = \frac{- 4 \cdot ( - 1)}{( - 1)^{2} + 1} = 2.\ \]

\[\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4x}{x^{2} + 1} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{- 4x}{x}}{\frac{x^{2} + 1}{x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{1 + \frac{1}{x}} =\]

\[= \frac{- 4}{+ \infty} = 0;\]

\[значит,\ в\ точке\ x = - 1\ функция\]

\[\ достигает\ наивысшего\]

\[\ значения,\]

\[так\ как\ y_{\max} = 2 > 0.\]

\[\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{- 4x}{x^{2} + 1} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{- 4x}{x}}{\frac{x^{2} + 1}{x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{1 + \frac{1}{x}} =\]

\[= \frac{1}{- \infty} = 0;\]

\[значит,\ в\ точке\ x = 1\ функция\ \]

\[достигает\ наименьшего\ \]

\[значения,\]

\[так\ как\ y_{\min} = - 2 < 0.\]

\[Точки\ локального\ экстремума:\]

\[x = - 1;\ \ x = 1.\]

\[Функция\ достигает\ \]

\[наибольшего\ (наименьшего)\]

\[\ значения\ в\ точках\]

\[локального\ экстремума.\]