ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 1119

\[\boxed{\text{1119\ (1119).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

При решении используем:

1. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

2. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

3. Формулу умножения многочлена на многочлен – каждое число из первой скобки умножить на каждое число из второй:

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{c + d} \right)\mathbf{= ac + ad + bc + bd.}\]

4. Чтобы вынести общий множитель за скобки, надо каждый член многочлена разделить на их наибольший общий делитель и результат записать в скобках, а общий множитель за скобками:

\[\mathbf{ab + b}\mathbf{m}\mathbf{= b \bullet}\left( \mathbf{a + m} \right)\mathbf{.}\]

5. Способ группировки:

1) сгруппировать члены выражения так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

\[\mathbf{ax + bx + 5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b =}\left( \mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+ b}\mathbf{x} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{5}\mathbf{a +}\mathbf{5}\mathbf{b} \right)\]

2) в каждой группе вынести общий множитель за скобки;

\[\mathbf{x}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\]

3) образовавшийся общий для обеих групп множитель вынести за скобки.

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{x + 5} \right)\mathbf{.}\]

6. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть, поменяв местами числитель со знаменателем):

\[\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\ :\ }\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a \bullet d}}{\mathbf{b \bullet c}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[y = \frac{ax + b}{cx + d},\ \ где\ \]

\[\ ad - bc \neq 0.\]

\[y_{3} - y_{1} = \frac{ax_{3} + b}{cx_{3} + d} - \frac{ax_{1} + b}{cx_{1} + d} =\]

\[= \frac{\text{ad}\left( x_{3} - x_{1} \right) + bc\left( x_{1} - x_{3} \right)}{\left( cx_{3} + d \right)\left( cx_{1} + d \right)} =\]

\[= \frac{\left( x_{3} - x_{1} \right)(ad - bc)}{\left( cx_{3} + d \right)\left( cx_{1} + d \right)}\]

\[Таким\ же\ образом:\ \]

\[y_{4} - y_{1} = \frac{\left( x_{4} - x_{1} \right)(ad - bc)}{\left( cx_{3} + d \right)\left( cx_{1} + d \right)}\]

\[y_{4} - y_{2} = \frac{\left( x_{4} - x_{2} \right)(ad - bc)}{\left( cx_{4} - d \right)\left( cx_{2} + d \right)}\]

\[Теперь\ подставим:\]

\[\frac{y_{3} - y_{1}}{y_{3} - y_{2}}\ :\frac{y_{4} - y_{1}}{y_{4} - y_{2}} =\]

\[= \frac{\left( y_{3} - y_{1} \right)\left( y_{4} - y_{2} \right)}{\left( y_{3} - y_{2} \right)\left( y_{4} - y_{1} \right)} =\]

\[= \frac{\left( x_{3} - x_{1} \right)}{\left( x_{3} - x_{2} \right)}\ :\frac{\left( x_{4} - x_{1} \right)}{\left( x_{4} - x_{2} \right)}\]

\[То\ есть:\]

\[\frac{y_{3} - y_{1}}{y_{3} - y_{2}}\ :\frac{y_{4} - y_{1}}{y_{4} - y_{2}} =\]

\[= \frac{x_{3} - x_{1}}{x_{3} - x_{2}}\ :\frac{x_{4} - x_{1}}{x_{4} - x_{2}} \Longrightarrow ч.т.д.\]