\[\boxed{\text{488\ (488).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Пусть\ n = 2:\]
\[\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} =\]
\[= \sqrt{2(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3) + 1} =\]
\[= \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1} = \sqrt{120 + 1} =\]
\[= \sqrt{121} = 11 - натуральное\ \]
\[число.\]
\[Докажем:\]
\[\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} =\]
\[= \sqrt{n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1} =\]
\[= \sqrt{\left( n^{2} + 3n \right)^{2} + 2\left( n^{2} + 3n \right) + 1} =\]
\[= \sqrt{\left( \left( n^{2} + 3n \right) + 1 \right)^{2}} =\]
\[= \left| n^{2} + 3n + 1 \right|\]
\[n^{2} + 3n + 1 > 0\ при\ любом\ \]
\[n \in N:\]
\[\left| n^{2} + 3n + 1 \right| = n^{2} + 3n + 1.\]
\[Так\ как\ n \in N,\ \ \ то\ каждое\ \]
\[слагаемое\ в\ сумме\ \ n^{2} + 3n + 1\ \]
\[будет\ натуральным\ числом.\]
\[Следовательно,\ сумма\ \]
\[натуральных\ чисел\ тоже\ будет\ \]
\[натуральным\ числом.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]