ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 916

\[\boxed{\text{916\ (916).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(> \ - \ \)больше;

\(\mathbf{<} -\) меньше;

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении используем следующее:

1. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

2. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

3. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:

\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]

\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]

5. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b + c} \right)\mathbf{= ab + ac.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ (x + 1)^{2} \geq 4x\]

\[x^{2} + 2x + 1 - 4x \geq 0\]

\[x^{2} - 2x + 1 \geq 0\]

\[(x - 1)^{2} \geq 0 \Longrightarrow верно\ при\ \]

\[любом\ x:\ \ ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\ (3b + 1)^{2} > 6b\]

\[9b^{2} + 6b + 1 - 6b > 0\]

\[9b^{2} > - 1 \Longrightarrow верно\ при\ любом\ \]

\[b,\ так\ как\ 9b^{2} \geq 0:\ \ ч.т.д.\]

\[\textbf{в)}\ 4 \cdot (x + 2) < (x + 3)^{2} - 2x\]

\[4x + 8 < x^{2} + 6x + 9 - 2x\]

\[x^{2} + 1 > 0 \Longrightarrow верно\ при\ любом\ \]

\[x,\ так\ как\ x^{2} \geq 0:\ \ ч.т.д.\]

\[\textbf{г)}\ 1 + (m + 2)^{2} > 3 \cdot (2m - 1)\]

\[1 + m^{2} + 4m + 4 > 6m - 3\]

\[m^{2} - 2m + 8 > 0\]

\[\left( m^{2} - 2m + 1 \right) + 7 > 0\]

\[(m - 1)^{2} + 7 > 0 \Longrightarrow верно\ при\ \]

\[любом\ m,\ так\ как\ \]

\[(m - 1)^{2} \geq 0:ч.т.д.\]