ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 927

\[\boxed{\text{927\ (927).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении используем следующее:

1. Среднее арифметическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\frac{\left( \mathbf{a + b} \right)}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{.\ }}\]

2. Среднее геометрическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}\mathbf{)}}\mathbf{.}\]

3. Среднее арифметическое неотрицательных чисел больше или равно среднему геометрическому.

4. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

6. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

7. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

8. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

Решение.

\[\textbf{а)}\ ac + \frac{b}{c} \geq 2\sqrt{\text{ab}},\]

\[\ \ a > 0,\ \ b > 0,\ \ c > 0\]

\[\frac{ac^{2} + b}{c} \geq 2\sqrt{\text{ab}}\ \ \ \ | \cdot c\]

\[ac^{2} + b \geq 2c\sqrt{\text{ab}}\]

\[ac^{2} + b \geq 2 \cdot \sqrt{c^{2}\text{ab}}\]

\[\Longrightarrow ac^{2} + b \geq 2c\sqrt{\text{ab}} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow верно,\ ч.т.д.\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{bc + a^{2}}{2} \geq \sqrt{a^{2}\text{bc}} \\ \frac{ac + b^{2}}{2} \geq \sqrt{b^{2}\text{ac}} \\ \frac{ab + c^{2}}{2} \geq \sqrt{c^{2}\text{ab}} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \frac{bc + a^{2}}{2} \cdot \frac{ac + b^{2}}{2} \cdot \frac{ab + c^{2}}{2} \geq\]

\[\geq \sqrt{a^{2}\text{bc}} \cdot \sqrt{b^{2}\text{ac}} \cdot \sqrt{c^{2}\text{ab}}\ \ \ | \cdot 8\]

\[\left( bc + a^{2} \right)\left( ac + b^{2} \right)\left( ab + c^{2} \right) \geq\]

\[\geq 8a^{2}b^{2}c^{2} \Longrightarrow ч.т.д.\]