\[\boxed{\text{437\ (437).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Если\ в\ n - ый\ день\ (n \geq 2)\ \]
\[Коля\ написал\ a \cdot n,\ \]
\[то\ в\ (n + 1)\ день\ он\ \]
\[написал\ an + 1 = an + 1 + an =\]
\[= 2an + 1.\]
\[Тогда\ a_{1} = 1,\ a_{2} = 2,\ a_{3} =\]
\[= 5,\ a_{4} = 11,\ то\ есть\ на\ \]
\[четвертый\ день\ он\]
\[написал\ 11.\]
\[Но\ 11 = 4k - 1\ и\ 2 \cdot (4k - 1) +\]
\[+ 1 = 8k - 1 = 4 \cdot 2k - 1,\]
\[следовательно,\]
\[начиная\ с\ 4\ дня,\ число,\ \]
\[написанное\ Колей\ дает\ \]
\[остаток\ 3\ при\ делении\]
\[на\ 4,\ а\ число,\ оканчивающееся\ \]
\[на\ 101,\ дает\ остаток\ 1\ при\ \]
\[делении\ на\ 4.\]
\[Ответ:не\ может.\ \]