\[\boxed{\mathbf{819\ (819).\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]
\[Пусть\ x - числитель,\ \]
\[а\ (x + 3) - знаменатель\ дроби.\]
\[Тогда\ новая\ дробь - \frac{x + 4}{x + 11}\text{\ .\ }\]
\[По\ условию\ известно,\ что\ \]
\[новая\ дробь\ на\ \frac{1}{6}\ больше.\]
\[Составляем\ уравнение:\]
\[\frac{x + 4}{x + 11} - \frac{x}{x + 3} - \frac{1}{6} = 0\]
\[\frac{- (x^{2} + 38x - 39)}{6 \cdot (x + 11)(x + 3)} = 0\]
\[x^{2} + 38x - 39 = 0\]
\[x_{1} + x_{2} = - 38,\ \ \text{\ x}_{1}x_{2} = - 39\]
\[x_{1} = - 39,\ тогда\ \ \ \frac{- 39}{- 36} -\]
\[не\ обыкновенная\ дробь.\]
\[x_{2} = 1,\ тогда\ \ \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4} -\]
\[исходная\ дробь.\]
\[Ответ:\frac{1}{4}.\]