ГДЗ по алгебре 9 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Числовые последовательности Вариант 2.

Условие:

1. Найдите восьмой член и сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = 1, a_2 = 4.

2. Найдите четвёртый член и сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = 1/9 и q = 3.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии –64, 32, –16, …

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (a_n), равного 3,6, если a = 2,4 и d = 0,2.

5. Какие два числа надо вставить между числами 8 и –64, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении x значения выражений 3x – 2, x + 2 и x + 8 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5, которые больше 150 и меньше 250.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{1} = 1;\ \ \ a_{2} = 4:\]

\[d = a_{2} - a_{1} = 4 - 1 = 3.\]

\[a_{8} = a_{1} + 7d = 1 + 7 \cdot 3 = 22.\]

\[S_{8} = \frac{(1 + 22) \cdot 8}{2} = 23 \cdot 4 = 92.\]

\[Ответ:a_{8} = 22;\ \ S_{8} = 92.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = \frac{1}{9};\ \ q = 3.\]

\[b_{4} = \frac{1}{9} \cdot q^{3} = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3.\]

\[S_{5} = \frac{b_{1}\left( q^{5} - 1 \right)}{q - 1} = \frac{\frac{1}{9} \cdot (243 - 1)}{3 - 1} =\]

\[= \frac{1}{9} \cdot 121 = \frac{121}{9} = 13\frac{4}{9}.\]

\[Ответ:13\frac{4}{9}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[- 64;32;\ - 16;\ldots\]

\[b_{1} = - 64;\ \ \ q = \frac{32}{- 64} = - \frac{1}{2} < 1.\]

\[S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{- 64}{1 + \frac{1}{2}} = - 64 \cdot \frac{2}{3} =\]

\[= - \frac{128}{3} = \ - 42\frac{2}{3}.\]

\[Ответ:\ - 42\frac{2}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{n} = 3,6;\ \ a_{1} = 2,4;\ \ d = 0,2.\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1)d\]

\[2,4 + (n - 1) \cdot 0,2 = 3,6\]

\[2,4 + 0,2n - 0,2 = 3,6\]

\[0,2n = 3,6 - 2,2\]

\[0,2n = 1,4\]

\[n = 7.\]

\[Ответ:n = 7.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = 8;\ \ b_{4} = - 64:\]

\[8;\ \ b_{1}q;\ \ b_{1}q^{2};\ - 64\]

\[8q^{3} = - 64\]

\[q^{3} = - 8\]

\[q = - 2.\]

\[b_{1}q = 8 \cdot ( - 2) = - 16;\ \]

\[b_{1}q^{2} = 8 \cdot ( - 2)^{2} = 32.\]

\[Ответ:числа\ - 16;32.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[3x - 2;x + 2;x + 8\]

\[(x + 2)^{2} = (3x - 2)(x + 8)\]

\[x^{2} + 4x + 4 = 3x^{2} - 2x + 24x - 16\]

\[3x^{2} - x^{2} + 22x - 4x - 16 - 4 = 0\]

\[2x^{2} + 18x - 20 = 0\ \ \ |\ :2\]

\[x^{2} + 9x - 10 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 9;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 10\]

\[x_{1} = - 10;\ \ x_{2} = 1.\]

\[b_{1} = 3 \cdot ( - 10) - 2 = - 32;\]

\[b_{2} = - 10 + 2 = - 8;\]

\[b_{3} = - 10 + 8 = - 2.\]

\[ИЛИ:\]

\[b_{1} = 3 \cdot 1 - 2 = 1;\]

\[b_{2} = 1 + 2 = 3;\]

\[b_{3} = 1 + 8 = 9.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Числа\ образуют\ \]

\[арифметическую\ прогрессию,\ \]

\[где\ d = 5.\]

\[a_{1} = 31 \cdot 5 = 155;\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = 245\]

\[245 = 155 + (n - 1) \cdot 5\]

\[245 = 155 + 5n - 5\]

\[5n = 245 - 150\]

\[5n = 95\]

\[n = 19.\]

\[S_{19} = \frac{(155 + 245) \cdot 19}{2} =\]

\[= \frac{400}{2} \cdot 19 = 200 \cdot 19 = 3800.\]

\[Ответ:3800.\]