ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев Задание 1067

\[\boxed{\text{1067\ (1067)\ .}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[x_{n} = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)};\ \ \]

\[x_{1} = \frac{1}{3},\ \ x_{2} = \frac{1}{3 \cdot 5},\ \ \]

\[x_{3} = \frac{1}{5 \cdot 7}.\]

\[Докажем,\ что\ искомая\ сумма\ \]

\[может\ быть\ найдена\ по\ \]

\[формуле:\]

\[S_{n} = \frac{n}{2n + 1}.\]

\[Предположим,\ что\ формула\ \]

\[верна\ для\ n = k.\ Докажем,\ что\ \]

\[она\ верна\ для\ n = k + 1:\]

\[= \frac{1}{(2k + 1)} + \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} =\]

\[= \frac{2k^{2} + 3k + 1}{(2k + 1)(2k + 3)} =\]

\[= \frac{(2k + 1)(k + 1)}{(2k + 1)(2k + 3)} =\]

\[= \frac{k + 1}{2k + 3} \Longrightarrow ч.т.д.\]