ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев Задание 645

\[\boxed{\text{645\ (}\text{н}\text{).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[\]

\[При\ решении\ задачи\ будем\ использовать\ теорему\ Пифагора:\]

\[b^{2} + \left( \text{bq} \right)^{2} = \left( bq^{2} \right)^{2}\]

\[b^{2} + b^{2}q^{2} - b^{2}q^{4} = 0\]

\[b^{2}\left( 1 + q^{2} - q^{4} \right) = 0;\ \ \ \ \ \ b > 1\]

\[q^{4} - q^{2} - 1 = 0\]

\[q^{2} = x:\]

\[x^{2} - x - 1 = 0\]

\[D = 1 + 4 = 5\]

\[x_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0\ \ (не\ подходит\ по\ условию).\]

\[x_{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\]

\[q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\]

\[Значит,\ длины\ прмоугольного\ треугольника\ могут\ составлять\ \]

\[геометрическую\ прогрессию\ с\ данным\ \text{q\ }и\ любым\ \text{b.}\]

\[Проверим\ при\ b = 3:\]

\[bq = 3 \cdot \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}};\ \ \ \ bq^{2} = 3 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.\]

\[3^{2} + \left( 3 \cdot \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \right)^{2} = \left( 3 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{2}\]

\[9 + 9 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 9 \cdot \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4}\]

\[9 \cdot \left( 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) = 9 \cdot \frac{5 + 2\sqrt{5}}{4}\]

\[9 \cdot \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) = 9 \cdot \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right).\]