ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев Задание 662

\[\boxed{\text{662}\text{\ (662)}\text{.}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[n = 1 \Longrightarrow \frac{1^{2} \cdot (1 + 1)^{2}}{4} = 1 = 1^{3};\]

\[n = 2 \Longrightarrow \frac{2^{2} \cdot (2 + 1)^{2}}{4} = 9 = 1 + 8 = 1^{3} + 2^{3};\]

\[n = 3 \Longrightarrow \frac{3^{2} \cdot (3 + 1)^{2}}{4} = 36 = 1 + 8 + 27 = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3}.\]

\[Допустим,\ что\ формула\ верна\ при\ любом\ n = k,\ то\ есть\]

\[\Longrightarrow 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \ldots + k^{3} = \frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} \Longrightarrow проверим,\ справедливо\]

\[ли\ высказывание\ \ при\ n = k + 1 \Longrightarrow\]

\[1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + .. + k^{3} + (k + 1)^{3} = \frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} + (k + 1)^{3},\ \]

\[\frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} + (k + 1)^{3} = \frac{(k + 1)^{2}\left( k^{2} + 4 \cdot (k + 1) \right)}{4} = \frac{(k + 1)^{2}(k + 2)^{2}}{4} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow формула\ справедлива \Longrightarrow ч.т.д.\]