ГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 137

\[\boxed{\mathbf{137.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ a\dot{-}\text{b\ }и\ a\bot b.\]

\[2)\ На\ прямой\ \text{a\ }отметим\ точку\ \]

\[A\ и\ из\ нее\ опустим\ \]

\[перпендикуляр\ c\ на\ прямую\ \text{b\ }\]

\[(через\ заданную\ точку\ \]

\[проходит\ прямая,\ \]

\[перпендикулярная\ к\]

\[данной\ и,\ притом,\ только\ \]

\[одна).\ \]

\[Пусть\ c \cap b = B,\ тогда\ AB\bot b.\]

\[4)\ Через\ точку\ \text{B\ }проведем\ \]

\[прямую\ a_{1} \parallel a\ (через\ любую\ \]

\[точку\ пространства,\ не\ \]

\[лежащую\ на\ данной\ прямой,\ \]

\[проходит\ прямая,\ \]

\[параллельная\ данной\ и,\ \]

\[притом,\ только\ одна\ \]

\[(теорема\ п.4)).\ \]

\[Так\ как\ a\bot b\ и\ a_{1} \parallel a:\]

\[a_{1}\bot b\ (по\ лемме\ п.15).\]

\[5)\ Через\ прямую\ a_{1}\ и\ точку\ \text{A\ }\]

\[проведем\ плоскость\ \text{β.\ }\]

\[Докажем,\ что\ плоскость\ \beta\bot b.\]

\[A \in \beta\ и\ B \in \beta:\]

\[AB \in \beta\ и\ AB\bot b;\]

\[a_{1} \in \beta\ и\ a_{1}\bot b;a_{1} \cap AB = B:\]

\[6)\ Докажем,\ что\ a \in \beta.\]

\[a_{1} \parallel a,\ a_{1} \in \beta:\]

\[\ либо\ a \in \beta,\ либо\ a \parallel \beta.\]

\[Но\ \text{a\ }и\ \text{b\ }имеют\ общую\ точку\ A:\]

\[они\ не\ могут\ быть\ \]

\[параллельными.\]

\[Остается\ один\ вариант:\ \]

\[a \in \beta.\]

\[7)\ Таким\ образом,\ через\ \]

\[прямую\ \text{a\ }проходит\ плоскость,\ \]

\[перпендикулярная\ \text{b\ }и\ притом\ \]

\[только\ одна.\]

\[Аналогично\ через\ \text{b\ }проводим\ \]

\[плоскость\ \alpha\bot a.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \]

\[Параграф\ 2.\ Перпендикулярные\ и\ наклонные.\ \]

\[Угол\ между\ прямой\ и\ плоскостью.\]